Seminar Feldtheorie: Gravito-Magnetismus

Werner Benger

11. Jänner 1995

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeiner Formalismus 2 1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Flußabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Die Tangentialabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Paralleltransport und Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5 Die Lie-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Parallelableitung und Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.7 Metrik und Affinzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8 Weitere geometrisch relevante Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.9 Die Feldgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Der Energie-Impuls-Tensor und Erhaltungssätze 10 2.1 Photomaterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Kontinuumsmechanische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Differentialoperatoren und Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Lie-Ableitung der Metrik – Killingvektoren . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Spezielle Eigenschaften der Schwarzschildmetrik 15 3.1 Der Ereignishorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Eddington-Finkelstein-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Maximale Erweiterung der Schwarzschildlösung . . . . . . . . . . . . 18

4 Rotierende schwarze Löcher - Kerr-Metrik 22 4.1 Stationär-Statisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Die Kerr-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Besondere Hyperflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.4 Eigenschaften der Ergosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.5 Maximale Erweiterung der Kerr-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.6 Energiegewinnung aus Kerr-BH (Penrose-Mechanismus) . . . . . . . 27 4.7 Wechselwirkungen rotierender BH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Rotierende Staubscheiben 29

6 Das Machsche Prinzip 30

Definition Gravito-Magnetismus: Der Gravito-Magnetismus behandelt die Effekte rotierender gravitativ wirkender Körper und die dabei in Analogie zum Magnetismus in der Elektrodynamik auftretenden Phänomene.

1 Allgemeiner Formalismus

1.1 Notation

Bei Tensorausdrücken wird in der Indexschreibweise zwischen kovarianten und kontravarianten Tensoren nicht unterschieden. Bei kartenfreien Ausdrücken werden Großbuchstaben für kovariante Tensoren und Kleinbuchstaben für kontravariante Tensoren verwendet. Z.B.:

\begin{matrix}G(k, k) & = g(K, K) \\ ↓ & ↓ \\ g_{μν}k^{μ}k^{ν} & g^{μν}k_{μ}k_{ν} \end{matrix}

1.2 Flußabbildungen

Sei v ∈ T^{1}(M) ein Vektorfeld. Dieses definiert eine Integralkurve und damit eine Flußabbildung Φ_{t}(p) : R × M → M mit den Eigenschaften

Φ_{0}(p)  = p
Φ_{s}(Φ_{t}(p)) = Φ_{s+t}(p)
\frac{d}{dt}Φ_{t}(p)|_{t=0} = Φ̇_{0}(p) = v(p)

Im folgenden wird oft die Abkürzung Φ := Φ_{0} bzw. Φ̇ := Φ̇_{0} verwendet.

1.3 Die Tangentialabbildung

Seien M und N Mannigfaltigkeiten und q(t) : R → M eine Kurve in M. Zudem sei Φ : M → N eine Abbildung von M nach N. Vermöge Φ ist eine Kurve q̂(t) : R → N definiert:

q̂(t) := Φ(q(t))

Zur Kurve q(t) existiert ein Tangentialvektor q̇(t) ∈ T_{q(t)}(M), zu q̂(t) der Tangentialvektor ˙ q̂(t) ∈ T_{_{q}(t)}(N). Zwischen diesen besteht unter Verwendung der Karten {x^{ν}} auf M und {x^{μ}} auf N die Beziehung:

˙q̂(t) = ˙ q̂(t)^{ν}∂_{ν} = \frac{dq̂(t)^{ν}}{ds} ∂_{ν} = \frac{dΦ^{ν}(q^{μ}(t))}{ds}∂_{ν} = \frac{∂Φ^{ν}}{∂x^{μ}} \frac{dq(t)^{μ}}{ds} ∂_{ν} =: T (Φ) (q̇(t))

Die Funktion T (Φ) : T_{q(t)}(M) → T_{_{q}(t)}(N) wird als Tangentialabbildung bezeichnet.

1.4 Paralleltransport und Richtungsableitung

Seien p_{0}, p ∈ M Punkte in der Mannigfaltigkeit M und v ∈ T^{1}(M) ein Vektorfeld. Der Tangentialtransport τ ist eine Abbildung vom Tangentialraum im Punkt p in den Tangentialraum am Punkt p_{0}:

τ_{p_{0}}(p, −) : T_{p}(M) ⟶ T_{p_{0}}(M) : v(p) ⟼ τ_{p_{0}}(p, v(p))

Am Punkt p_{0} selbst ist der Tangentialtransport die identische Abbildung:

τ_{p_{0}}(p_{0}, v(p_{0})) = v(p_{0})

Der Tangentialtransport ist linear, d.h. für λ, μ ∈ R und v, w ∈ T_{p}(M) gilt:

τ_{p_{0}}(p, λ · v(p) + μ · w(p)) = λ · τ_{p_{0}}(p, v(p)) + μ · τ_{p_{0}}(p, w(p))

Der Paralleltransport ist gegeben durch den Tangentialtransport entlang einer Kurve Φ_{t}:

τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), v(Φ_{t}(p_{0})))

ber den Paralleltransport läßt sich die Richtungsableitung des Vektorfeldes v in Richtung des Tangentenvektors Φ̇ am Punkt p_{0} definieren:

∇Φ̇v := \frac{d}{dt} [τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), v(Φ_{t}(p_{0})))]_{t=0}

Dieser Ausdruck hat die Struktur

\frac{d f(g(x), h(g(x)))}{d x} = \frac{∂f(…)}{∂g} \frac{d g(x)}{d x} + \frac{∂f(…)}{∂h} \frac{d h(g(x))}{d x}

Somit ergibt sich für die Richtungsableitung:

(1) ∇Φ̇v := \frac{d}{dt} [τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), v(Φ_{t}(p_{0})))]_{t=0}

= \frac{∂ τ_{p_{0}}(…)}{∂ x^{μ}} |_{t=0} \frac{d Φ_{t}^{μ}(p_{0})}{dt}|_{t=0} + \frac{∂ τ_{p_{0}}(…)}{∂ v}|_{t=0} \frac{d v(Φ_{t}(p_{0}))}{dt}|_{t=0}

Dabei gilt:

\frac{∂ τ_{p_{0}}(…)}{∂ v}|_{t=0} = \frac{∂ τ_{p_{0}} (Φ_{0}(p_{0}), v(Φ_{0}(p_{0})))}{∂ v} = \frac{∂ τ_{p_{0}} (p_{0}, v(p_{0}))}{∂ v} = \frac{∂ v(p_{0})}{∂ v} = 1

Und in einer Karte {x^{μ}}:

\frac{d v(Φ(p_{0}))}{dt}|_{t=0} = \frac{∂v}{∂x^{μ}} \frac{dΦ_{t}^{μ}}{dt} |_{t=0} = v,_{μ} Φ̇_{0}^{μ} = v^{σ},_{μ} Φ̇^{μ}∂_{σ}

Wähle speziell Φ̇_{t} = ∂_{μ} und v = ∂_{ν}. Dann:

Φ_{t}(p_{0}) = ((p_{0})^{0}, (p_{0})^{1}, (p_{0})^{2}, …, (p_{0})^{μ} + t, …, (p_{0})^{n−1})

Daher:

∇Φ̇v = ∇_{∂_{μ}}∂_{ν} = \frac{d}{dt} [τ_{p_{0}} ( ((p_{0})^{0}, (p_{0})^{1}, …, (p_{0})^{μ} + t, …, (p_{0})^{n}) , ∂_{ν} )]_{t=0}

= \frac{∂τ_{p_{0}}(p_{0}, ∂_{ν})}{∂x^{μ}} = \frac{∂τ_{p_{0}}^{σ}(p_{0}, ∂_{ν})}{∂x^{μ}}∂_{σ} =: ∇_{μν}^{σ}(p_{0})∂_{σ}

Die n^{3} Funktionen ∇_{μν}^{σ} : M → R sind die Komponenten des Affinzusammenhanges in der Karte {x^{μ}}. Somit ergibt sich wegen der Linearität des Tangentialtransportes:

\frac{∂ τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), v(Φ_{t}(p_{0})))}{∂ x^{μ}} |_{t=0} = \frac{∂ τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), v^{ν}(Φ_{t}(p_{0})) · ∂_{ν})}{∂ x^{μ}} |_{t=0}

= v^{ν}(Φ_{t}(p_{0}))|_{t=0} \frac{∂ τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), ∂_{ν})}{∂ x^{μ}} |_{t=0} = v^{ν}(p_{0})\frac{∂τ_{p_{0}}(p_{0}, ∂_{ν})}{∂x^{μ}}

= v^{ν}(p_{0})∇_{μν}^{σ}(p_{0})∂_{σ}

Eingesetzt in (1) folgt:

∇Φ̇v = v^{ν}∇_{μν}^{σ}∂_{σ}Φ̇^{μ} + v^{σ},_{μ} Φ̇^{μ}∂_{σ} = (v^{ν}∇_{μν}^{σ} + v^{σ},_{μ} ) Φ̇^{μ}∂_{σ} =: v_{;μ}^{σ}Φ̇^{μ}∂_{σ}

Dabei ist v_{;μ}^{σ} die kovariante Ableitung des Vektorfeldes v.

1.5 Die Lie-Ableitung

Seien u, v ∈ T^{1}(M) Vektorfelder. ber das Vektorfeld u ist gemäß 1.2 eine Flußabbildung Φ_{t}(p) mit Φ̇ = u festgelegt.

Die Rückabbildung ist eine Funktion Φ_{t}^{∗} : T_{Φ_{t}(p_{0})}(M) → T_{p_{0}}(M) und über die Tangentialabbildung definiert:

Φ_{t}^{∗}( v(Φ_{t}(p)) ) := T (Φ_{t}^{−1})( v(Φ_{t}(p)) )

Die Lie-Ableitung ist definiert als die nderung der Rückabbildung:

L_{u} v := \frac{d}{dt}Φ_{t}^{∗}( v( Φ_{t}(p_{0}) ) )|_{t=0}

In einer Karte {x^{μ}}:

L_{u} v = \frac{d}{dt} (\frac{∂(Φ_{t}^{−1})^{μ}}{∂x^{ν}} v^{ν}(Φ_{t}(p))∂_{μ})|_{t=0}

= \underbrace{\frac{∂(Φ_{t}^{−1})^{μ}}{∂x^{ν}} |_{t=0}}_{δ_{ν}^{μ}} \frac{∂v^{ν}}{∂x^{σ}} \underbrace{\frac{d(Φ_{t}(p_{0}))^{σ}}{dt} |_{t=0}}_{u^{σ}(Φ_{t}(p))|_{t=0}} ∂_{μ} +

+ [\frac{∂}{∂x^{ν}} (\frac{d(Φ_{t}^{−1})^{μ}}{dt} )|_{t=0}] v^{ν}( Φ_{t}(p_{0}) )|_{t=0} ∂_{μ} = …

Es gilt:

\frac{d(Φ_{t}^{−1})(p)}{dt}|_{t=0} = \frac{d(Φ_{−t})(p)}{dt}|_{t=0} = − \frac{d(Φ_{s})(p)}{ds}|_{\begin{matrix}t=0 \\ s=−t \end{matrix}} = −Φ̇(p) = −u(p)

Folglich:

L_{u} v = …

= δ_{ν}^{μ} \frac{∂v^{ν}}{∂x^{σ}} u^{σ}(Φ_{t}(p))|_{t=0} ∂_{μ} + [\frac{∂}{∂x^{ν}} (−u^{μ}(p_{0}))] v^{ν}(p_{0})∂_{μ}

= v^{μ},_{σ} u^{σ}∂_{μ} − u^{μ},_{ν} v^{ν}∂_{μ} = [u, v]

1.6 Parallelableitung und Torsion

Die Parallelableitung πΦ̇v gibt die Abweichung von der Parallelität eines Tangentialvektors v ∈ T_{p_{0}}(M) unter der Flußabbildung der Kurve Φ_{t} an:

πΦ̇v := \frac{d}{dt}τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), (Φ_{t}^{∗})^{−1}(v))|_{t=0}

= \frac{∂τ_{p_{0}}(Φ_{t}(p_{0}), …)}{∂x^{μ}} |_{t=0} \frac{d}{dt}Φ_{t}^{μ}|_{t=0} + \frac{∂τ_{p_{0}}(…, (Φ_{t}^{∗})^{−1}(v))}{∂x^{μ}} |_{t=0} \frac{d}{dt} [(Φ_{t}^{∗})^{−1}]^{μ} (v)|_{t=0}

= v^{ν}∇_{μν}^{σ}∂_{σ}Φ̇^{μ} + δ_{μ}^{ν}∂_{ν} \frac{d}{dt} [T (Φ_{t}^{−1})^{−1}(v)]^{μ}|_{t=0} = …

Dabei ergibt sich:

\frac{d}{dt} [T (Φ_{t}^{−1})^{−1}(v)]^{μ}|_{t=0} = \frac{d}{dt} [(\frac{∂(Φ_{t}^{−1})^{μ}}{∂x^{ν}} )^{−1} v^{ν}]|_{t=0}

= \frac{d}{dt} [\frac{∂Φ_{t}^{μ}}{∂x^{ν}} v^{ν}]|_{t=0} = \frac{∂}{∂x^{ν}} [\frac{d}{dt}Φ_{t}^{μ}]_{t=0} v^{ν} = Φ̇^{μ},_{ν} v^{ν}

Somit folgt für die Parallelableitung in einer Karte:

πΦ̇v = v^{ν}∇_{μν}^{σ}∂_{σ}Φ̇^{μ} + Φ̇^{μ},_{ν} v^{ν}∂_{μ}

Vgl. mit der Richtungsableitung (dort ist v ein Vektorfeld):

∇Φ̇v := \frac{d}{dt} [τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), v(Φ_{t}(p_{0})))]_{t=0} = v^{ν}∇_{μν}^{σ}∂_{σ}Φ̇^{μ} + v^{σ},_{μ} Φ̇^{μ}∂_{σ}

und der Lie-Ableitung:

L_{Φ̇} v ≡ [Φ̇, v] = v^{μ},_{σ} Φ̇^{σ}∂_{μ} − Φ̇^{μ},_{ν} v^{ν}∂_{μ}

Daraus folgt die folgende Beziehung:

πΦ̇v = ∇Φ̇v − [Φ̇, v]

Damit läßt sich die Torsion zweier Vektorfelder u, v ∈ T^{1}(M) ausdrücken (mit Φ_{t}, Ψ_{t} Integralkurven zu u, v):

T (u, v) := ∇_{u}v − ∇_{v}u − [u, v] = u^{μ}v^{ν}(∇_{μν}^{σ} − ∇_{νμ}^{σ})∂_{σ}
=π_{u}v − ∇_{v}u = \frac{d}{dt} [τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), (Φ_{t}^{∗})^{−1}(Ψ̇)) − τ_{p_{0}} (Ψ_{t}(p_{0}), Φ̇(Ψ_{t}(p_{0})))]_{t=0}
=∇_{u}v − π_{v}u = \frac{d}{dt} [τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), Ψ̇(Φ_{t}(p_{0}))) − τ_{p_{0}} (Ψ_{t}(p_{0}), (Ψ_{t}^{∗})^{−1}(Φ̇))]_{t=0}

Zur Veranschaulichung kann die Torsion als Limes dargestellt werden:

T (u, v) := ∇_{u}v − π_{v}u

= \frac{d}{dt} [τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), Ψ̇(Φ_{t}(p_{0}))) − τ_{p_{0}} (Ψ_{t}(p_{0}), (Ψ_{t}^{∗})^{−1}(Φ̇(p_{0})))]_{t=0}

= lim_{t→0} \frac{1}{t} \{[τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), Ψ̇(Φ_{t}(p_{0}))) − Ψ̇(p_{0})]

− [τ_{p_{0}} (Ψ_{t}(p_{0}), (Ψ_{t}^{∗})^{−1}(Φ̇(p_{0}))) − Φ̇(p_{0})]}

= lim_{t→0} \frac{1}{t} \{[τ_{p_{0}} (Φ_{t}(p_{0}), Ψ̇(Φ_{t}(p_{0}))) + Φ̇(p_{0})]

− [τ_{p_{0}} (Ψ_{t}(p_{0}), (Ψ_{t}^{∗})^{−1}(Φ̇(p_{0}))) + Ψ̇(p_{0})]}

Graphik: Ausgangspunkt sind zwei Kurven Ψ_{t} und Φ_{t} (in erster Näherung Geraden, da dann Terme höherer Ordnung wegfallen) an einem Punkt p_{0} mit den Tangentialvektoren Ψ̇ und Φ̇.

Im Tangentialraum kann der Tangentialtransport als identische Abbildung betrachtet werden und der Vektor Ψ̇(Φ_{t}(p_{0})) an die Spitze des Vektors Φ̇(p_{0}) gezeichnet werden, die den Punkt Φ_{t}(p_{0}) (wegen Φ̇(p_{0}) = lim_{t→0} \frac{1}{t}[Φ_{t}(p_{0}) − Φ_{0}(p_{0})]) darstellen soll . Der resultierende Vektor bildet den ersten Term in der Limes-Darstellung.

An die Spitze des Vektors Ψ̇(p_{0}), die den Punkt Ψ_{t}(p_{0}) repräsentieren soll, kann der aus der Flußabbildung unter Ψ_{t}^{∗} hervorgegangene Vektor (Ψ_{t}^{∗})^{−1}(Φ̇(p_{0})) eingezeichnet werden. Der resultierende Vektor entspricht dem zweiten Term.

Die Differenz beider Vektoren ist die Torsion von Φ̇ und Ψ̇.

Nichtverschwindende Torsion bedeutet, daß sich die durch eine Gerade hervorgerufene Flußabbildung eines Vektors vom Paralleltransport entlang dieser Geraden unterscheidet. Anschaulich: Durch den Paralleltransport entlang einer Geraden wird ein Tangentialvektor ”gedreht“ (wobei diese Drehung eigentlich nur mithilfe einer Metrik gemessen werden kann, sie wird aber durch den Vergleich mit der Flußabbildung, die selbst keine Drehung hervorrufen kann, ebenfalls sichtbar).

1.7 Metrik und Affinzusammenhang

g_{μν} sei eine Metrik mit der Signatur (+, −, −, −), g^{μν} die dazugehörige Kometrik. Christoffel-Symbole:

Γ_{μν}^{ϱ} = \frac{1}{2}g^{ϱα} (g_{μα},_{ν} +g_{αν},_{μ} −g_{μν},_{α})

Kovariante Ableitung: ∇_{v}u = u_{;ν}^{μ}v^{ν}∂_{μ} mit u_{;ν}^{μ} = u^{μ},_{ν} +∇_{σν}^{μ}u^{σ}. ∇_{σν}^{μ} sind die Komponenten des Affin-Zusammenhanges. Im Fall ∇_{μν}^{σ} = Γ_{μν}^{σ} (Christoffel-Zusammenhang) sind Geraden gleich Geodäten (∇g = 0, der Affinzusammenhang ist mit der Metrik verträglich, parallelverschobene Vektoren behalten ihre Länge); zudem gilt: g_{μν;σ} = 0. Beweis für Γ = ∇ ⇒ g_{μν;σ} = 0 :

g_{μν;σ} = g_{μν},_{σ} −g_{μκ}∇_{νσ}^{κ} − g_{κν}∇_{μσ}^{κ}
= g_{μν},_{σ} − g_{μκ} \frac{1}{2}g^{κϱ} (g_{νϱ},_{σ} +g_{ϱσ},_{ν} −g_{νσ},_{ϱ})

− g_{κν} \frac{1}{2}g^{κϱ} (g_{μϱ},_{σ} +g_{ϱσ},_{μ} −g_{μσ},_{ϱ})

= g_{μν},_{σ} −\frac{1}{2} (g_{μν},_{σ} +g_{μσ},_{ν} −g_{νσ},_{μ}) − \frac{1}{2} (g_{μν},_{σ} +g_{νσ},_{μ} −g_{μσ},_{ν} ) = 0

Daraus folgt, daß Indexziehen und kovariante Ableitung vertauschen; Beispiel:

A_{μ;ν}^{ϱ} = (g_{μσ}A^{σϱ})_{;ν} = \underbrace{g_{μσ;ν}}_{0} A^{σϱ} + g_{μσ}A_{;ν}^{σϱ} = g_{μσ}A_{;ν}^{σϱ}

Umgekehrt folgt aus g_{μν;σ} = 0 ⇒ Γ = ∇ genau dann, wenn die Torsion T_{μν}^{σ} = ∇_{μν}^{σ} − ∇_{νμ}^{σ} verschwindet; der Tensor T_{μν}^{σ} beschreibt dabei den Schließfehler von Parallelogrammen ([5], p.27).

Anmerkung: Es gab Versuche, eine einheitliche Feldtheorie aufzubauen, indem zusätzlich eine Kontorsion σ eingeführt wird, sodaß

∇_{μν}^{ϱ} = Γ_{μν}^{ϱ} + σ_{μν}^{ϱ}

wobei σ aus dem 4er Potential A_{μ} zu konstruieren ist. Dabei treten jedoch Probleme mit der Eichinvarianz auf. In den Einstein-Cartan-Theorien schließlich werden g_{μν} und ∇_{μν}^{ϱ} als unabhängige Variablen behandelt. Weitere Ideen einer einheitlichen Feldtheorie, die von Einstein selbst ausgingen, bestanden darin, die metrischen Komponenten komplex zu wählen oder auf die Symmetrie des metrischen Tensors zu verzichten.

Aus g_{μν;σ} = 0 folgt die Beziehung

g_{μν},_{σ} = g_{μκ}∇_{νσ}^{κ} + g_{κν}∇_{μσ}^{κ}

Sei det g die Determinante der Matrix (g_{μν}). Es gilt (ganz allgemein für beliebige invertierbare Matrizen):

\frac{∂ det g}{∂ g_{μσ}} = det g g^{μσ}

Aus diesen beiden Beziehungen läßt sich die folgende, praktische Gleichung ableiten:

(ln \sqrt{−det g}),_{ν} = \frac{1}{\sqrt{−det g}} \frac{1}{2\sqrt{−det g}} (−det g),_{ν} = \frac{1}{2 (−det g)}(−det g),_{ν}
= \frac{1}{2 (−det g)} \frac{∂ (−det g)}{∂g_{μσ}}g_{μσ},_{ν} = \frac{1}{2 (−det g)}(−det g) g^{μσ}g_{μσ},_{ν}
= \frac{1}{2}g_{μσ},_{ν} g^{μσ} = \frac{1}{2}g^{μσ} (g_{μκ}∇_{σν}^{κ} + g_{κσ}∇_{μν}^{κ})
= \frac{1}{2} [δ_{κ}^{σ}∇_{σν}^{κ} + δ_{κ}^{μ}∇_{μν}^{κ}] = \frac{1}{2} [∇_{κν}^{κ} + ∇_{κν}^{κ}]
= ∇_{κν}^{κ}

1.8 Weitere geometrisch relevante Tensoren

Der Riemannsche Krümmungstensor K ist kartenfrei über die Beziehung

K(u, v)w = ∇_{u}∇_{v}w − ∇_{v}∇_{u}w − ∇_{[u,v]}w

definiert mit u, v, w ∈ T_{P} (M) und läßt sich über die Vertauschung der kovarianten Ableitung ausdrücken:

u_{;ϱ;σ}^{μ} − u_{;σ;ϱ}^{μ} = K_{σϱν}^{μ}u^{ν}

Die Funktionen K_{σϱν}^{μ} = < dx^{μ}, K(∂_{σ}, ∂_{ϱ})∂_{ν} > bilden die Komponenten des Riemannschen Krümmungstensors. Unmittelbar einsichtig ist die Symmetrieeigenschaft K_{σϱν}^{μ} = −K_{ϱσν}^{μ}. Weitere Symmetrieeigenschaften sind:

K_{μσϱν} = K_{ϱνμσ}
K_{μσϱν} = −K_{μσνϱ}
K_{μ<σϱν>} ≡ K_{μσϱν} + K_{μϱνσ} + K_{μνσϱ} = 0

Aufgrund dieser Symmetrieeigenschaften hat der Riemanntensor im R^{4} nur maximal 20 unabhängige Komponenten (in n Dimensionen: \frac{1}{12}n^{2}(n^{2} − 1)).

Definition Geradenfläche: Seien u, v ∈ T_{P} (M). Eine Geradenfläche ist durch die beiden Tangentialvektoren u, v im Punkt P bestimmt als die Menge aller Punkte in M, die durch diejenigen Geraden gebildet wird, deren Tangentialvektor sich im Punkt P als Linearkombination von u, v darstellen läßt.

Analog läßt sich eine Geodätenfläche definieren, für Γ = ∇ ist eine Geradenfläche eine Geodätenfläche.

Für Γ = ∇ gibt der Riemanntensor die Gaußsche Krümmung K einer durch zwei Vektoren u, v bestimmten Geodätenfläche gemäß folgender Formel an:

K = \frac{K(u, v)uv}{A(u, v)^{2}} = κ_{1} · κ_{2} = \frac{1}{r_{1}} · \frac{1}{r_{2}}

(Vgl. [2], 25.9, p.81). K ist identisch mit dem Produkt der beiden Hauptkrümmungen κ_{1} bzw. κ_{2} im Fall einer eingebetteten Fläche. A(u, v) ist die von den beiden Vektoren u, v aufgespannte Fläche und im R^{3} durch

A(u, v)^{2} = G(u × v, u × v)

gegeben, allgemein mittels

A(u, v)^{2} = (g_{μν}g_{ϱσ} − g_{μσ}g_{ϱν})u^{μ}v^{ϱ}u^{ν}v^{σ}

Die einzige nichtverschwindende Kontraktion des Riemanntensors (die Spurbildung über antisymmetrische Indices ist Null) liefert den (symmetrischen) Ricci-Tensor mit maximal 10 unabhängigen Komponenten:

R_{μν} = K_{μκν}^{κ}

Für Γ = ∇ gibt der Riccitensor R(v, v) mit v ∈ T_{P} (M) die Summe der Gaußschen Krümmungen von n − 1 zueinander orthogonalen Geodätenflächen, die v enthalten, an:

R(v, v) = G(v, v) ∑_{i=1}^{n−1} K_{i}

Diese Deutung stammt von Ricci selbst, daher auch die Namensgebung (Vgl. [2], 34, p.113). Die Kontraktion des Riccitensors liefert den Krümmungsskalar:

R = R_{μ}^{μ} = 1/Radius^{2}

Die übrigen 10 Komponenten des Riemann-Tensors können im spurfreien Weyloder Conform-Tensor C_{σϱ}^{αμ} zusammengefaßt werden:

K_{σϱ}^{αμ} = C_{σϱ}^{αμ} + \frac{1}{2} [δ_{σ}^{α}R_{ϱ}^{μ} + δ_{ϱ}^{μ}R_{σ}^{α} − δ_{ϱ}^{α}R_{σ}^{μ} − δ_{σ}^{μ}R_{ϱ}^{α}] − \frac{1}{6} (δ_{σ}^{α}δ_{ϱ}^{μ} − δ_{ϱ}^{α}δ_{σ}^{μ}) R

Spurfreiheit bedeutet: C_{σϱ}^{σμ} = 0. Wenn ds̄^{2} = f(x^{ν})ds^{2} (konform äquivalente Metrik), dann ist C identisch. Diese Eigenschaft wird u.a. zur Petrowklassifizierung herangezogen.

Im Vakuum (R_{μν} = 0) ist der Conformtensor C identisch mit dem Riemanntensor K.

Im Dreidimensionalen kann der Riemann-Tensor vollständig durch den Ricci-Tensor dargestellt werden, der Conformtensor ist 0.

1.9 Die Feldgleichung

Bei Γ = ∇ gilt für den Riemann-Tensor die Bianchi-Identität:

K_{νϱ<αβ;σ>} = 0

Durch Verjüngen folgt daraus die kontrahierte Bianchi-Identität:

(R^{μν} − \frac{1}{2}g^{μν}R)_{;μ} = 0

Der Einstein-Hilbert-Tensor H^{μν} hat die Form

H^{μν} = R^{μν} − \frac{1}{2}Rg^{μν}

und somit die Eigenschaft H_{;μ}^{μν} = 0. Die Feldgleichung lautet (in kontravarianter Schreibweise):

R^{μν} − \frac{1}{2}Rg^{μν} + Λg^{μν} = κT^{μν}

T^{μν} ist der Energie-Impuls-Tensor mit der Eigenschaft T _{;μ}^{μν} = 0 (”Energieerhaltung“). Dabei gilt T _{;μ}^{μν} = 0 nur dann, wenn T^{μν} ein abgeschlossenes System beschreibt. Z.B. sei

T^{μν} = A^{μν} + B^{μν}

Es gilt:

(A^{μν} + B^{μν})_{;μ} = 0

daraus folgt jedoch nicht:

A_{;μ}^{μν} = 0  oder  B_{;μ}^{μν} = 0

Die Feldgleichung (in kovarianter Schreibweise)

R_{μν} − \frac{1}{2}g_{μν}R = T_{μν}

kann alternativ in der Form

R_{μν} = T_{μν} − \frac{1}{2}g_{μν}T

geschrieben werden. Die Beziehung

R = −T = −T_{μ}^{μ}

folgt direkt aus der Feldgleichung durch berschieben mit g^{μν}

Anmerkung: Alternativ zur Einsteinschen Vakuumfeldgleichung H_{μν} = 0 gab es Versuche, C_{σϱ}^{αμ} = 0 als Feldgleichung zu verwenden. Die Lösungen sind konform äquivalent zur Minkowskimetrik η_{μν}, d.h. g_{μν} = f(x^{σ})η_{μν}. Dieser Weg war jedoch nicht erfolgreich, da sich für die Lichtablenkung am Sonnenrand nur 1/6 des realen bzw. einsteinschen Wertes ergibt.

2 Der Energie-Impuls-Tensor und Erhaltungssätze

2.1 Photomaterie

Die Maxwellgleichung F = dA hat in einer Karte die Form

F_{μν} = A_{ν},_{μ} −A_{μ},_{ν}  bzw.  F_{<μν,α>} = 0

und kann allgemein relativistisch mithilfe der kovarianten Ableitung in der Form

F_{μν} = A_{ν;μ} − A_{μ;ν}  bzw.  F_{<μν;α>} = 0

oder auch

F̃ _{;ν}^{μν} = 0  mit  F̃ = ∗F

geschrieben werden. Die zweite Maxwellgleichung ∗d ∗ F = −j hat in einer Karte die Form

−F _{;ν}^{μν} = F _{;ν}^{νμ} = −j^{μ}

Der Energie-Impuls-Tensor der Photomaterie Θ hat die Struktur

Θ^{μν} = F^{σμ}F _{μ}^{ν} − \frac{1}{4}g^{μν}F_{σϱ}F^{σϱ}

Energieerhaltung der Photomaterie:

Θ_{;ν}^{μν} = F _{;ν}^{μσ}F _{σ}^{ν} + F^{μσ} \underbrace{F _{σ;ν}^{ν}}_{−j_{σ}} −\frac{1}{4}g^{μν}F_{σϱ;ν}F^{σϱ} − \frac{1}{4}g^{μν}F_{σϱ}F _{;ν}^{σϱ}

Nebenrechnungen: Der erste Term:

F _{;ν}^{μσ}F _{σ}^{ν} = F^{μσ;ϱ}g_{νϱ}F _{σ}^{ν} = F^{μσ;ϱ}F_{ϱσ} = −F_{σϱ}F^{μσ;ϱ}

Vertauschen der Indices liefert wegen F_{αβ} = −F_{βα}:

F_{σϱ}F^{μσ;ϱ} = F_{ϱσ}F^{μϱ;σ} = F_{σϱ}F^{ϱμ;σ}

Somit:

F _{;ν}^{μσ}F _{σ}^{ν} = −\frac{1}{2}F_{σϱ}(F^{μσ;ϱ} + F^{ϱμ;σ})

Der dritte Term:

g^{μν}F_{σϱ;ν}F^{σϱ} = F^{σϱ}F_{σϱ}^{;μ} = F^{σϱ}(F^{αβ}g_{ασ}g_{βϱ})^{;μ} = F^{σϱ}g_{ασ}g_{βϱ}(F^{αβ})^{;μ}
= F_{αβ}(F^{αβ})^{;μ} = F_{σϱ}F^{σϱ;μ}

Damit folgt für den Energie-Impuls-Tensor:

Θ_{;ν}^{μν} = −\frac{1}{2}F_{σϱ}(F^{μσ;ϱ} + F^{ϱμ;σ} + F^{σϱ;μ}) − F^{μσ}J_{σ}
= −\frac{1}{2}F_{σϱ}g^{μα}g^{σβ}g^{ϱγ}(F_{αβ;γ} + F_{γα;β} + F_{βγ;α}) − F^{μσ}j_{σ}
= −\frac{1}{2}F_{σϱ}g^{μα}g^{σβ}g^{ϱγ} \underbrace{F_{<αβ;γ>}}_{0,wegen Maxwell dF =0} −F^{μσ}j_{σ}

Somit ist Θ_{;ν}^{μν} genau dann 0, wenn j_{σ} = 0, was in einem abgeschlossenem System reiner Photomaterie der Fall ist.

2.2 Kontinuumsmechanische Beschreibung

Die mathematisch maximal mögliche Zerlegung des Energie-Impuls-Tensors liefert die folgende Struktur:

T^{μν} = ϱ u^{μ} u^{ν} + p h^{μν} + π^{μν} + q^{μ}u^{ν} + q^{ν}u^{μ}

Die auftretenden Größen können in Anlehnung an die Kontinuumsmechanik interpretiert werden:

ϱ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . skalares Feld, sog. ”Energiedichte“
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitsvektorfeld der Materie, G(u, u) = 1
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . skalares Druckfeld
π, π^{μν} = π^{νμ} . . . . . . . . . . raumartiges Spannungstensorfeld, u^{μ}g_{μν}π^{νσ} = 0
q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorfeld des Wärmestroms mit G(q, u) = 0

h^{μν} := u^{μ}u^{ν} − g^{μν} ist die räumliche Metrik (⊥ zur 4-Geschwindigkeit, h^{μν}u_{μ} = 0) und wird als Projektionstensor gebraucht.

Im Ruhesystem der Materie (d.h. u = ∂_{t} = (1, 0, 0, 0)) hat der Energie-Impuls-Tensor die Gestalt:

(\begin{matrix}ϱ & q^{1} & q^{2} & q^{3} \\ q^{1} & π_{1} − p & π_{12} & π_{13} \\ q^{2} & π_{12} & π_{2} − p & π_{23} \\ q^{3} & π_{13} & π_{23} & π_{3} − p \end{matrix})

Meist wird nur das ideale Fluidum behandelt:

T^{μν} = (ϱ + p) u^{μ} u^{ν} − p g^{μν}

zusammen mit einer Zustandsgleichung p = p(ϱ), wobei oft p = μ·ϱ^{κ} mit μ = const. und κ = 1 angenommen wird. Dabei beschreibt

μ =\frac{1}{3}  Strahlung  T_{μ}^{μ} = 0

(Der Energie-Impuls-Tensor für

elektromagnetische Wellen muß spurfrei sein.)

μ = 0 Inkohärente Materie  T^{μν} = ϱ u^{μ}u^{ν}

(Die Teilchen üben aufeinander keinen Druck aus.)

μ = −1 Quantenvakuum  T^{μν} = ϱ g^{μν}

(Der Energie-Impuls-Tensor soll Lorentz-invariant sein, der Druck ist zeitlich konstant.)

Ein Speziallfall, in dem Druck und Dichte unabhängig aus der Feldgleichung folgen, ist die innere Schwarzschildlösung. Wird im Inneren eines Sternes die Dichte als konstant modelliert, so ergibt sich für den Druck:

p(r) = ϱ\frac{\sqrt{1 − \frac{κϱr^{2}}{3}} − \sqrt{1 − \frac{κϱr_{0}^{2}}{3}}}{3\sqrt{1 − \frac{κϱr_{0}^{2}}{3}} − \sqrt{1 − \frac{κϱr^{2}}{3}}}

(Vgl. [3], p.120) An der Sternoberfläche r = r_{0} verschwindet der Druck (p(r_{0}) = 0).

Allgemein gilt: Wenn u Eigenvektor zu T_{μν} ist, dann ist u auch ein Eigenvektor zu R_{μν}:

T_{μν}u^{μ} = λu_{ν}

Gemäß Feldgleichung H_{μν} = T_{μν}:

R_{μν}u^{μ} − \frac{1}{2}g_{μν}Ru^{μ} = λu_{ν}

daher:

R_{μν}u^{μ} = (λ + \frac{1}{2}R)u_{ν} = (λ − \frac{1}{2}T_{μ}^{μ})u_{ν}

Das ideale fluide Medium erfüllt die bemerkenswerte Eigenschaft, daß hierbei die 4-Geschwindigkeit ein Eigenvektor des Riccitensors ist:

T_{μν}u^{μ} = (ϱ + p)u_{μ}u_{ν}u^{μ} − pg_{μν}u^{μ} = ϱu_{ν}

T = T_{μ}^{μ} = (ϱ + p) \underbrace{u^{μ}u_{μ}}_{1} − \underbrace{δ_{μ}^{μ}}_{4} p = (ϱ − 3p)

Für den Eigenwert ergibt sich:

(λ − \frac{1}{2}T_{μ}^{μ}) = ϱ − \frac{1}{2}(ϱ − 3p) = (ϱ + 3p)/2

• Spezielle Eigenschaften inkohärenter Materie:

T _{;μ}^{μν}u_{ν} = (ϱu^{μ}u^{ν})_{;μ}u_{ν} = (ϱu^{μ})_{;μ} \underbrace{u^{ν}u_{ν}}_{1} +ϱ \underbrace{\underbrace{u_{;μ}^{ν}u^{μ}}_{a^{ν}} u_{ν}}_{0,da a⊥u}

Damit folgt wegen T _{;μ}^{μν} = 0 die Kontinuitätsgleichung (gilt auch dann, wenn a ≠ 0):

(ϱu^{μ})_{;μ} = 0

Aus T _{;μ}^{μν} = 0 folgt außerdem, daß sich die Staubteilchen auf Geodäten bewegen:

0 = T _{;μ}^{μν} = (ϱu^{μ}u^{ν})_{;μ} = \underbrace{(ϱu^{μ})_{;μ}}_{0} u^{ν} + ϱ \underbrace{u_{;μ}^{ν}u^{μ}}_{0}

2.3 Differentialoperatoren und Integralsätze

Problem: Es gibt in der ART zwar eine Art Energieerhaltung in der Form T _{;μ}^{μν} = 0. Daraus folgt jedoch nicht unmittelbar eine Erhaltungsgröße, da die Integration die Umkehrabbildung der partiellen Ableitung ist, nicht jedoch der kovarianten Ableitung. Für einen bestimmten Punkt kann jedoch immer ein lokal geodätisches Koordinatensystem gewählt werden (physikalisch: frei fallender Beobachter, mathematisch: ∇_{μν}^{σ}(x_{0}) = 0), sodaß T _{;μ}^{μν} = T^{μν},_{μ} = 0. Global kann die kovariante Ableitung nicht auf eine partielle zurückgeführt werden, außer bei manchen Differentialoperatoren:

• Gradient

Φ_{;μ} = Φ,_{μ}

• Divergenz

B_{;ν}^{ν} = B^{ν},_{ν} +∇_{νσ}^{ν}B^{σ} = B^{ν},_{ν} +(ln \sqrt{−det g}),_{σ} B^{σ}

= B^{ν},_{ν} +\frac{1}{\sqrt{−det g}} (\sqrt{−det g}),_{ν} B^{ν}

= \frac{1}{\sqrt{−det g}} (\sqrt{−det g}B^{ν},_{ν} +(\sqrt{−det g}),_{ν} B^{ν})

= \frac{1}{\sqrt{−det g}} (B^{ν} \sqrt{−det g}) ,_{ν}

• Rotation

A_{μ;ν} − A_{ν;μ} = A_{μ},_{ν} −∇_{μν}^{σ}A_{σ} − A_{ν},_{μ} +∇_{νμ}^{σ}A_{σ} = A_{μ},_{ν} −A_{ν},_{μ}

• Divergenz eines antisymmetrischen Tensors

F _{;μ}^{μν} = F^{μν},_{μ} + \underbrace{∇_{μσ}^{ν}F^{μσ}}_{0} +∇_{μσ}^{μ}F^{νσ} = \frac{1}{\sqrt{−det g}} (F^{μν} \sqrt{−det g}) ,_{μ}

• Wellenoperator der ART

□Φ = Φ_{;ν}^{,ν} = \frac{1}{\sqrt{−det g}} (\sqrt{−det g} g^{νμ} Φ,_{μ} ) ,_{ν}

Mithilfe des Stokeschen Satzes

∫_{Ω} dX = ∫_{∂Ω} X

kann aus der kovarianten Divergenz eine Integralgröße abgeleitet werden:

∫_{Ω_{4}} B_{;ν}^{ν}dV = ∫_{Ω_{4}} \frac{1}{\sqrt{−det g}} (B^{ν} \sqrt{−det g}) ,_{ν} \sqrt{−det g} d^{4}x

= ∫_{∂Ω_{4}≡Ω_{3}} B^{ν} \sqrt{−det g} df_{ν}

wobei f_{ν} den Normalenvektor der dreidimensionalen Randfläche beschreibt. Kartenfreie Schreibweise: Mit E = \sqrt{−det g} dx^{0} ∧ ⋯ ∧ dx^{n−1} gilt die Beziehung:

d(j E) = j_{;ν}^{ν}E

D.h. falls j_{;ν}^{ν} = 0 (j ist divergenzfrei), dann ist d(j E) = 0 bzw. j E eine Erhaltungsgröße.

2.4 Lie-Ableitung der Metrik – Killingvektoren

Die Lie-Ableitung eines zweistufigen Tensors wie etwa der Metrik ist allgemein:

L_{ξ} g_{μν} = g_{μν},_{σ} ξ^{σ} + g_{μσ}ξ^{σ},_{ν} +g_{σν}ξ^{σ},_{μ}

ber die Christoffelsymbole

Γ_{μν}^{ϱ} = \frac{1}{2}g^{ϱα} (g_{μα},_{ν} +g_{αν},_{μ} −g_{μν},_{α})  | · 2 g_{σϱ}
2g_{σϱ}Γ_{μν}^{ϱ} = g_{μσ},_{ν} +g_{σν},_{μ} −g_{μν},_{σ}

kann die Beziehung

g_{μν},_{σ} = g_{μσ},_{ν} +g_{σν},_{μ} −2g_{σϱ}Γ_{μν}^{ϱ}

gewonnen werden. Damit ergibt sich speziell für die Lie-Ableitung der Metrik:

L_{ξ} g_{μν} = g_{μσ},_{ν} ξ^{σ} + g_{σν},_{μ} ξ^{σ} − 2g_{σϱ}Γ_{μν}^{ϱ}ξ^{σ} + g_{μσ}ξ^{σ},_{ν} +g_{σν}ξ^{σ},_{μ}
= (g_{μσ}ξ^{σ}),_{ν} −2g_{σϱ}ξ^{σ}Γ_{μν}^{ϱ} + (g_{σν}ξ^{σ}),_{μ}
= ξ_{μ},_{ν} −2ξ_{ϱ}Γ_{μν}^{ϱ} + ξ_{ν},_{μ}
= ξ_{μ},_{ν} −ξ_{ϱ}Γ_{μν}^{ϱ}  +  ξ_{ν},_{μ} −ξ_{ϱ}Γ_{νμ}^{ϱ}

Mit ∇_{μν}^{ϱ} = Γ_{μν}^{ϱ} gilt nun:

L_{ξ} g_{μν} = ξ_{μ;ν} + ξ_{ν;μ}

Definition: Wenn für ein Vektorfeld ξ gilt, daß L_{ξ} g_{μν} = 0, so nennt man diesen Vektor einen Killingvektor. Er erfüllt die Gleichung ξ_{μ;ν} + ξ_{ν;μ} = 0. Anschaulich bedeutet dies, daß die Metrik g invariant ist bzgl. der Flußabbildungen des Vektorfeldes ξ. Durch eine geeignete Koordinatenwahl kann ein Killingvektor ξ auf die Form ξ = ∂_{ξ} gebracht werden. In dieser Karte gilt: g_{μν},_{ξ} = 0, d.h. die Metrik hängt von einer Koordinate nicht ab (Symmetrie in der Raumzeit).

Anmerkung: Lie-Ableitung und kovariante Ableitung vertauschen normalerweise nicht. Ausnahme: Killingvektoren.

Mithilfe eines Killingvektors kann aus dem Energie-Impuls-Tensor eine Erhaltungsgröße definiert werden:

P^{ν} := ξ_{μ}T^{μν}

Es gilt:

P _{;ν}^{ν} = (ξ_{μ}T^{μν})_{;ν} = \underbrace{\underbrace{ξ_{μ;ν}}_{antis.} \underbrace{T^{μν}}_{symm.}}_{0} +ξ_{μ} \underbrace{T _{;ν}^{μν}}_{0} = 0

Damit kann eine Erhaltungsgröße definiert werden:

P _{;ν}^{ν} = 0  ⟶  ∫_{G_{3}} P^{ν}df_{ν} = 0  ⟶  ∫_{x^{0}=const.} P^{ν}df_{ν} = const.

G_{3} stellt den dreidimensionalen Rand eines vierdimensionalen Gebietes dar. Unter der Voraussetzung, daß P^{ν} nur in einem räumlich beschränkten Gebiet ungleich 0 ist, kann der zeitartige Teil des Gebietes G_{3} genügend groß gewählt werden, sodaß dort P^{ν} = 0 gilt; infolgedessen liefern nur die Anteile mit x^{0} = const. einen Beitrag.

Energieerhaltung eines Teilchens mit der Geschwindigkeit u, das sich auf einer Geodäten bewegt:

∇_{u}(u^{μ}ξ_{μ}) = (u^{μ}ξ_{μ})_{;ν}u^{ν} = \underbrace{u_{;ν}^{μ}u^{ν}}_{0} ξ_{μ} + \underbrace{\underbrace{u^{μ}u^{ν}}_{symm.} \underbrace{ξ_{μ;ν}}_{antisymm.}}_{0} = 0

d.h. die Größe E := u^{μ}ξ_{μ} ist infolge ∇_{u}E = 0 konstant in Richtung u.

3 Spezielle Eigenschaften der Schwarzschildmetrik

ds^{2} = (1 − \frac{2m}{r}) dt^{2} − \frac{1}{1 − \frac{2m}{r}} dr^{2} − r^{2}dΩ^{2}

Das Birkhoffsche Theorem besagt in seiner ersten Formulierung: ”Das Vakuum – Gravitationsfeld einer sphärisch-symmetrischen Massenverteilung ist statisch“. Diese Aussage folgt aus der im Vakuum gültigen Bedingung R_{rt} = 0, wobei R_{rt} ∝ g_{rr},_{t}. D.h. auch ein kollabierender oder expandierender Stern macht sich in seinem Gravitationsfeld nach außen hin nur durch die Schwarzschildmetrik bemerkbar, solange keine Asymmetrien auftreten. Gravitationsstrahlung o.ä. tritt nicht auf, analog zur Elektrodynamik, wo eine sphärisch symmetrische bewegte Ladungsverteilung ebenfalls keine Strahlung emittiert (Anmerkung: Gravitationsstrahlung erfordert zumindest ein Massenquadrupolmoment).

Da die Metrik nicht von der Zeitkoordinate t abhängt, ist k = ∂_{t} ein Killingvektor. Für ihn gilt:

G(k, k) = g_{tt} = 1 − \frac{2m}{r}

Für r > 2m ist k zeitartig, bei r = 2m lichtartig und bei r < 2m raumartig. Ursprünglich wurde die Schwarzschildmetrik nur für r > 2m verwendet, aber auch für r < 2m ist sie eine Lösung der Vakuumfeldgleichung – mit dem Unterschied jedoch, daß r hier eine zeitartige Koordinate und t eine raumartige Koordinate darstellt (wegen g_{tt} < 0 und g_{rr} < 0). D.h. die Metrik ist innerhalb von r = 2m nicht mehr statisch, es gibt keine ruhenden Beobachter in der Region r < 2m, da für r = const., ϑ = const. und φ = const. gilt:

ds^{2} = g_{tt}dt^{2} = G(k, k)dt^{2} < 0

– für zeitartige Weltlinien muß jedoch ds^{2} > 0 gelten. Das Birkhoff-Theorem ist daher in die folgende, verallgemeinerte Form abzuändern: ”Jede sphärisch-symmetrische Vakuumlösung ist isometrisch zur Schwarzschildlösung“.

3.1 Der Ereignishorizont

Eine Hyperfläche ist durch eine Funktion f : M ↦ R festgelegt, sodaß auf der Hyperfläche gilt:

f(x^{μ}) = const.

Der Normalenvektor ergibt sich aus dem vierdimensionalen Gradient:

n = n^{ν}∂_{ν} = g^{νμ}f,_{μ} ∂_{ν} = #df

Eine Hyperfläche wird Nullhyperfläche genannt, wenn gilt

G(n, n) = 0

in jedem Punkt der Hyperfläche, d.h. der Normalenvektor n ist lichtartig und daher orthogonal zu jedem beliebigen Vektor, auch zu sich selbst; somit ist der Normalenvektor auf die Nullhyperfläche gleichzeitig tangential.

Im Minkowski-Raum stellt die Fläche x = ±t bzw. f = x−t eine Nullhyperfläche mit dem Normalenvektor n = (1, −1, 0, 0) und η(n, n) = 0 dar. Die Zukunftslichtkegel liegen alle auf einer Seite der Hyperfläche, in die Zukunft gerichtete zeitartige Weltlinien können die Nullhyperfläche nur in einer Richtung durchqueren.

Eine Nullhyperfläche, die sich nicht ins räumlich unendliche erstreckt, nennt man einen Ereignishorizont. Im Schwarzschildfall bildet die Fläche r = 2m einen Ereignishorizont mit dem Normalenkovektor dr|_{r=2m} und g(dr, dr) = g^{rr} ≡ g_{tt} = 0.

3.2 Eddington-Finkelstein-Koordinaten

Die Schwarzschild-Radialkoordinate ist über den Kreisumfang definiert: Ein relativ zur gravitativ wirkenden Masse ruhender Beobachter messe den Kreisumfang aller Punkte gleichen Abstandes. Die Koordinate r ist so gewählt, daß sich der Kreisumfang als 2πr ergibt (Gleichermaßen kann auch die Kugeloberfläche mit 4πr^{2} vermessen werden).

Vergleicht ein ruhender Beobachter seine Kreisumfangsmessung mit einem im Radialabstand ds = dr/\sqrt{1 − \frac{2m}{r}} ruhenden Beobachter, so beträgt die Differenz der Meßergebnisse

2πdr = 2πds\sqrt{1 − \frac{2m}{r}}

D.h. je näher ein ruhender Beobachter dem Schwarzschildradius r = 2m kommt, desto weniger ändert sich der von ihm gemessene Kreisumfang.

Da es bei r = 2m keine ruhenden Beobacher mehr gibt, ist es nicht verwunderlich, daß die Schwarzschildmetrik dort singulär wird.

Ein frei fallender Beobachter erreicht jedoch die Singularität bei r = 0 in endlicher Eigenzeit und mißt infolgedessen auch einen endlichen Radialabstand. Daher ist es sinnvoll, die Schwarzschildmetrik in Koordinaten auszudrücken, die einem bewegten Beobachter angepaßt sind. Die einfachste Möglichkeit besteht darin, die Metrik lichtartigen Geodäten anzupassen (radial einfallenden Photonen). Wegen ds = 0 und dΩ = 0 gilt:

(1 − \frac{2m}{r}) dt^{2} = \frac{dr^{2}}{1 − \frac{2m}{r}}

bzw.

dt = \frac{dr}{1 − \frac{2m}{r}}

Dieser Ausdruck legt die Einführung einer avancierten Lichtkoordinate v nahe:

v = t + ∫ dt = t + ∫ \frac{dr}{1 − \frac{2m}{r}} = t + (r + 2m ln |\frac{r}{2m} − 1|) (2)

ber diese Lichtkoordinate kann wiederum eine neue Zeitkoordinate definiert werden:

t̄:= v − r = t + 2m ln |\frac{r}{2m} − 1|

wobei

dt̄ = dv − dr = dt + \frac{dr}{1 − \frac{2m}{r}} − dr = dt − dr (1 − \frac{1}{1 − \frac{2m}{r}} ) = dt − \frac{dr}{1 − \frac{r}{2m}}

(Vgl. [6]) bzw.

dt^{2} = dt̄^{2} + \frac{2}{1 − \frac{r}{2m}} dt̄dr + \frac{1}{(1 − \frac{r}{2m})^{2}} dr^{2}

Somit ergibt sich für die Metrik:

ds^{2} = (1 − \frac{2m}{r}) dt̄^{2} + 2\frac{1 − \frac{2m}{r}}{1 − \frac{r}{2m}} dt̄dr + \frac{1 − \frac{2m}{r}}{(1 − \frac{r}{2m})^{2}} dr^{2} − \frac{1}{1 − \frac{2m}{r}} dr^{2} − r^{2}dΩ^{2}

Nebenrechnungen:

\frac{1 − \frac{2m}{r}}{1 − \frac{r}{2m}} = \frac{1 − \frac{2m}{r}}{\frac{r}{2m} (\frac{2m}{r} − 1)} = −\frac{2m}{r}

\frac{1 − \frac{2m}{r}}{(1 − \frac{r}{2m})^{2}} − \frac{1}{1 − \frac{2m}{r}} = \frac{1 − \frac{2m}{r}}{(\frac{r}{2m})^{2} (1 − \frac{2m}{r})^{2}} − \frac{1}{1 − \frac{2m}{r}} =

= \frac{1}{(\frac{r}{2m})^{2} (1 − \frac{2m}{r})} − \frac{1}{1 − \frac{2m}{r}} = \frac{1}{1 − \frac{2m}{r}} [\frac{1}{(\frac{r}{2m})2} − 1] =

= \frac{1}{1 − \frac{2m}{r}} [(\frac{2m}{r})^{2} − 1^{2}] = \frac{1}{1 − \frac{2m}{r}} (\frac{2m}{r} − 1) (\frac{2m}{r} + 1) =

= − (\frac{2m}{r} + 1)

Die Schwarzschildmetrik nimmt daher in den Eddington-Finkelstein Koordinaten {t̄, r̄, ϑ̄, φ̄} die Form

ds^{2} = (1 − \frac{2m}{r̄}) dt̄^{2} − \frac{4m}{r̄}dt̄dr̄ − (1 + \frac{2m}{r̄}) dr̄^{2} − r̄^{2}dΩ̄^{2} (3)

an. Die Metrik ist hier bei r = 2m nicht mehr singulär, dafür weist sie jedoch nichtdiagonale Elemente auf (die andeuten, daß die Metrik einem bewegten Beobachter angepaßt ist, hier radial einfallenden Photonen).

Für radiale (dΩ̄ = 0) Lichtstrahlen (ds = 0) gilt:

(1 − \frac{2m}{r̄}) dt̄^{2} − \frac{4m}{r̄}dt̄dr̄ − (1 + \frac{2m}{r̄}) dr̄^{2} = 0

ber die Umformungen

(1 − \frac{2m}{r̄}) dt̄^{2} + [(1 − \frac{2m}{r̄}) − (1 + \frac{2m}{r̄})] dt̄dr̄ − (1 + \frac{2m}{r̄}) dr̄^{2} = 0

(1 − \frac{2m}{r̄}) (dt̄+ dr̄)dt̄− (1 + \frac{2m}{r̄}) (dt̄+ dr̄)dr̄ = 0

folgt:

(dt̄+ dr̄) [(1 − \frac{2m}{r̄}) dt̄− (1 + \frac{2m}{r̄}) dr̄] = 0

Radiale lichtartige Geodäten können somit auf zweierlei Weise auftreten:

• dt̄+ dr̄ = 0 oder dr̄ = −dt̄ bzw.

\frac{dr̄}{dt̄} = −1

Die ”Innenseite“ des Lichtkegels ist, wie im Minkowski-Fall, immer um 45^{o} nach innen geneigt.

• (1 − \frac{2m}{r̄}) dt̄− (1 + \frac{2m}{r̄}) dr̄ oder

\frac{dr̄}{dt̄} = \frac{1 − \frac{2m}{r̄}}{1 + \frac{2m}{r̄}} = \frac{r̄ − 2m}{r̄ + 2m} = \begin{cases}r̄ = ∞ & : 1 \\ r̄ = 2m & : 0 \\ r̄ = 0 & : −1 \end{cases}

D.h. die ”Außenseite“ des Lichtkegels ist im unendlichen, wie im Minkowski-Fall, unter 45^{o} nach außen geneigt. Am Schwarzschildradius r̄ = 2m liegt die Außenseite parallel zur Zeitachse (t̄) und ist im Zentrum (r̄ = 0) identisch mit der Innenseite.

Die Darstellung der Schwarzschildlösung in Eddington-Finkelstein-Koordinaten hat die Eigenschaft, nicht mehr zeitsymmetrisch zu sein. In (2) kann statt ”-“ auch ”+“ gewählt werden, anstelle einer retardierten also eine avancierte Zeitkoordinate eingeführt werden. Daraus folgt eine zur Schwarzschildmetrik ebenfalls isometrische Vakuumlösung, in der r = 2m zwar auch eine Nullhyperfläche darstellt, mit dem Unterschied jedoch, daß zeitartige Geodäten den Ereignishorizont nur verlassen können (”Weißes Loch“-Lösung).

Beide Erweiterungen der Schwarzschildmetrik (”Schwarzes Loch“ und ”Weißes Loch“) können in einem durchgeführt werden und führen zur maximalen Erweiterung der Schwarzschildlösung.

3.3 Maximale Erweiterung der Schwarzschildlösung

Die Minkowskimetrik kann durch die Einführung lichtartiger Koordinaten v, w

v = t + x w = t − x

auf die Form

ds^{2} = dt^{2} − dx^{2} − dy^{2} − dz^{2} = dv dw − dy^{2} − dz^{2}

gebracht werden. Analog können auch hier lichtartige Koordinaten eingeführt werden (vgl. 2):

v := t + ∫ dt = t̄+ r = t + (r + 2m ln |\frac{r}{2m} − 1|)

Damit folgt direkt:

t̄= v − r  dt̄= dv − dr  dt̄^{2} = dv^{2} − 2dv dr + dr^{2}

Aus (3) wird damit:

ds^{2} =

= (1 − \frac{2m}{r̄}) [dv^{2} − 2dv dr̄ + dr̄^{2}] − \frac{4m}{r̄}(dv − dr̄)dr̄ − (1 + \frac{2m}{r̄}) dr̄^{2} − r̄^{2}dΩ^{2}

= (1 − \frac{2m}{r̄}) dv^{2} − 2dv dr̄ − r̄^{2}dΩ̄^{2}

Parallel zur avancierten Lichtkoordinate v kann eine retardierte Lichtkoordinate w eingeführt werden:

w := t − ∫ dt = t − ∫ \frac{dr}{1 − \frac{2m}{r}} = t − (r + 2m ln |\frac{r}{2m} − 1|) (4)

Die Metrik, mithilfe der retardierten Lichtkoordinate w geschrieben, hat die Form

ds^{2} = (1 − \frac{2m}{r̄}) dw^{2} + 2dw dr̄ − r̄^{2}dΩ̄^{2}

und beschreibt das ”Weiße Loch“. Zwischen v, w, t und r̄ gelten die Beziehungen:

dv = dt + \frac{dr̄}{1 − \frac{2m}{r̄}} dw = dt − \frac{dr̄}{1 − \frac{2m}{r̄}}

und umgekehrt:

dv + dw = 2dt dv − dw = \frac{2dr̄}{1 − \frac{2m}{r̄}}

Abbildung 1: Geodäten und Lichtkegel eines statischen Schwarzen Loches in i.) Schwarzschildkoordinaten, ii.) Eddington-Finkelstein-Koordinaten. Im Fall i.) können zeitartige Weltlinien r̄ = 2m nicht schneiden, im Fall ii.) geht jedoch die Zeitumkehrsymmetrie verloren.

Damit kann dr ausgedrückt werden:

2dr̄ = (dv − dw) (1 − \frac{2m}{r̄})

daher auch:

−2dv dr̄ = − (1 − \frac{2m}{r̄}) dv^{2} + dv dw (1 − \frac{2m}{r̄})

Die Metrik nimmt in den Koordinaten {v, w, ϑ, φ} nimmt die Form

ds^{2} = (1 − \frac{2m}{r̄}) dv dw − r^{2}dΩ^{2}

an, wobei r implizit über die Beziehung

\frac{v − w}{2} = r̄ + 2m ln |\frac{r̄}{2m} − 1|)

gegeben ist. Neben dieser ”Drehung“ des Koordinatensystems (t, r) → (v, w) kann nun noch eine Streckung entlang der lichtartigen Koordinatenachsen ausgeführt werden, sodaß die Lichtkegel in dem neuen Koordinatensystem eine der Minkowski-Metrik identische Gestalt annehmen. Dazu werden die Kruskal-Szekeres-Koordinaten v̄, w̄ folgendermaßen eingeführt:

v̄ = e^{v/4m}  w̄ = −e^{−w/4m}

Es ergibt sich:

dv dw = \frac{∂v}{∂v̄} \frac{∂w}{∂w̄} dv̄ dw̄ = [\frac{1}{4m}e^{v/4m} \frac{1}{4m}e^{−w/4m}]^{−1} dv̄ dw̄

= 16m^{2}e^{−(v−w)/2 \frac{1}{2m}} dv̄ dw̄ = 16m^{2}e^{−r̄/2m}e^{− ln( \frac{r̄}{2m} −1)}dv̄ dw̄

= \frac{16m^{2}}{r̄} e^{−r̄/2m}2m\frac{1}{1 − \frac{2m}{r̄}} dv̄ dw̄ = \frac{32m^{3}}{r̄} e^{−r̄/2m}dv̄ dw̄

Die Schwarzschildmetrik hat also in Kruskal-Szekeres-Koordinaten die Form

ds^{2} = \frac{32m^{3}}{r̄} e^{−r̄/2m}dv̄ dw̄ − r̄^{2}dΩ̄^{2}

Durch eine weitere Drehung

(v̄, w̄) → (t′ = \frac{v̄ + w̄}{2} , x′ = \frac{v̄ − w̄}{2} )

kann die Koordinatendarstellung wieder der üblichen Darstellung angepaßt werden. Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten haben den Vorteil, daß sich lichtartige Geodäten wie bei der Minkowskimetrik an jedem Punkt als 45^{o}–Geraden darstellen lassen. Koordinatenlinien mit konstanter Schwarzschildzeit t sind ebenfalls Geraden und laufen durch den Ursprung des Koordinatensystems, wobei ein bestimmtes t zweifach in Erscheinung tritt - sowohl als raumartige wie auch als zeitartige Koordinatenlinie. Linien mit konstantem r äußern sich als Hyperbeln, der Ereignishorizont r = 2m als durch den Ursprung laufende Geraden. Die Singularität r = 0 wird ebenfalls als Hyperbel abgebildet (Vgl. Abb. 2 aus [7]).

In der Kartendarstellung der Mannigfaltigkeit lassen sich vier Regionen unterscheiden: Region I ist isometrisch zu der von der gewöhnlichen Schwarzschildmetrik dargestellten Mannigfaltigkeit, Region I+II sind isometrisch zur avancierten

Abbildung 2: Kruskal-Diagramm

Eddington-Finkelstein-Lösung, während Region I+II′ isometrisch zur retardierten Lösung sind. Zusätzlich existiert eine Region I′, die ebenfalls isometrisch zur Schwarzschildlösung ist; es gibt jedoch keine zeitartigen oder lichtartigen Verbindungslinien zwischen Region I′ und I. Die Koordinatenlinie t = 0 wird durch eine Gerade repräsentiert, die den Koordinatenursprung schneidet. Für jeden Punkt auf dieser Linie stellt die Oberfläche einer Kugel mit der Fläche 4πr^{2} dar. Im Koordinatenursprung selbst ist r = 2m, die Fläche der Kugel somit 16πm^{2}; der Schnitt entlang dieser Koordinatenlinie wird als die Einstein-Rosen-Brücke bezeichnet, als ”Tor zu einem anderen Universum“. Dieses andere Universum kann jedoch nie betreten werden, nur ein Beobachter innerhalb des Schwarzschildradius kann dessen Existenz bemerken. (Vgl. [7], pp. 149)

Die mithilfe der Kruskal-Szekeres-Koordinaten durchgeführte Erweiterung der Schwarzschildlösung ist maximal, da alle Geodäten entweder bis zu einem beliebig großen Bahnparameter ausgedehnt werden können oder bei einem endlichen Wert die Singularität bei r = 0 erreichen.

Um auch Punkte, die im Unendlichen liegen, in einer Karte darstellen zu können, ist es nützlich, neue Koordinaten mit der Transformation

(v̄, w̄) ⟶ (v′′ = arctan(v̄/\sqrt{2m}), w′′ = arctan(w̄/\sqrt{2m}))

einzuführen. Punkte bei +∞(−∞) werden so auf +π/2(−π/2) abgebildet; diese Darstellung wird als Penrose-Diagramm bezeichnet.

4 Rotierende schwarze Löcher - Kerr-Metrik

4.1 Stationär-Statisch

Stationär: Es existiert ein zeitartiger Killingvektor k mit G(k, k) > 0.

Pseudostationär: Es existiert ein Killingvektor k, der bei asymptotisch großen Distanzen zeitartig ist.

Statisch: Stationär ohne Bewegung (kein Materiefluß oder Strom). Für die zu k gehörende Killing-1-Form K gilt:

K ∧ dK = 0 (5)

Anders ausgedrückt: Eine Metrik g ist statisch, wenn gilt:

K_{[α;β}K_{γ]} = 0

(Frobenius Orthogonalitätsbedingung) D.h. die Killing-1-Form K ist an jedem Punkt orthogonal zu einer raumartigen Hyperfläche (falls K zeitartig ist). Es läßt sich zeigen, daß ein Schwarzes Loch, das stationär, aber nicht statisch ist, rotiert (Siehe [1], p.38). Aus (5) folgt die Bedingung

d (\frac{K}{g(K, K)}) = 0

(vgl. [6] pp.104) und die Existenz einer Funktion t, sodaß

K = g(K, K)dt

Die über (5) definierte Größe Ω wird der Twist eines Kovektorfeldes genannt:

Ω := \frac{∗(K ∧ dK)}{2 g(K, K)}

Hier im speziellen wird Ω auch als ”absolute Rotation“ ([6], p.116) bezeichnet. In großen Entfernungen von der Gravitationsquelle (g_{μν} ≅ η_{μν}) kann die Näherung

Ω⃗ ≅ −\frac{1}{2} ∇ × g⃗

verwendet werden, wobei g⃗ := g_{t1} ∂_{1} + g_{t2} ∂_{2} + g_{t3} ∂_{3} und ∇ das in der Physik übliche Nabla-Symbol darstellt ([6], p.118, 1.10.33). Das bedeutet, in einem stationären, nicht statischen Gravitationsfeld rotieren die lokalen Inertialsysteme mit der Winkelgeschwindigkeit Ω um die eigene Achse relativ zu den Fixsternen – die Drehung eines Sterns zieht gleichsam auch die lokalen Inertialsysteme mit; in der Newtonsche Theorie gibt es keinen solchen Einfluß rotierender Gravitationsquellen. Der Term ∇×g⃗ wird als Lense-Thirring-Präzession (1918 vorhergesagt) bezeichnet; dieser Effekt wäre etwa durch die Präzession eines Kreisels meßbar.

Analog zum Lense-Thirring-Effekt ist in der Elektrodynamik das Drehmoment, das das von elektrischen Strömen hervorgerufene Magnetfeld auf Dipole ausübt (Vgl. [3], p.131).

Allgemein ist die Rotationsgeschwindigkeit eines Kreisels, der auf einer nicht geodätischen Bahn (Beschleunigung a ≠ 0) mit der Geschwindigkeit v⃗ läuft, in einem schwachen Gravitationsfeld mit dem Newtonschen Potential Φ durch den Ausdruck

Ω⃗ = −\frac{1}{2}v⃗ × a⃗ − \frac{1}{2} ∇ × g⃗ − \frac{3}{2}v⃗ × ∇Φ

gegeben ([6], p.263, 5.5.16). Die drei Komponenten sind die Thomas-Präzession, die Lense-Thirring-Präzession und die geodätische Präzession. Im Fall einer Kreisbahn in einem tiefen Orbit um die Erde ergibt sich numerisch für das Verhältnis der Präzessionen:

\frac{Lense-Thirring}{geodätisch} = 6.5 × 10^{−3}

oder im Mittel

|Ω| ≃ 8.4 (\frac{R_{Erde}}{R_{Orbit}} )^{5/2} Bogensekunden/Jahr

Beispiel statisch↔stationär anhand der Schwarzschildmetrik:

k = ∂_{t} K = g_{tt}k^{t}dt = (1 − \frac{2m}{r})dt

dK = \frac{2m}{r^{2}}dr ∧ dt

K ∧ dK = (1 − \frac{2m}{r})\frac{2m}{r^{2}}dt ∧ dr ∧ dt = 0

Also: Die Schwarzschildmetrik ist statisch (in Regionen, in denen ∂_{t} zeitartig ist).

4.2 Die Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik hat in Boyer-Lindquist-Koordinaten (asymptotisch minkowskische Polarkoordinaten) die Form:

ds^{2} = dt^{2} − ϱ^{2} (\frac{dr^{2}}{Δ} + dϑ^{2}) − (r^{2} + a^{2}) sin^{2} ϑdφ^{2} − \frac{2mr}{ϱ^{2}} (dt − a sin^{2} ϑdφ)^{2} (6)

Dabei wurden die Abkürzungen

ϱ^{2}(r, ϑ) = r^{2} + a^{2} cos^{2} ϑ
Δ(r) = r^{2} − 2mr + a^{2}

verwendet. Für a = 0 ergibt sich aus der Kerr-Metrik die Schwarzschildmetrik. Die Kerr-Metrik ist nicht symmetrisch gegenüber der Zeitumkehr t → −t, Zeitumkehr erfordert zusätzlich a → −a (oder φ → −φ); die Größe a·m kann als z-Komponente des Drehimpulses L interpretiert werden, m entspricht wie im Schwarzschildfall der Masse.

Die Komponenten der Metrik lauten im einzelnen:

(g_{μν}) = (\begin{matrix}1 − \frac{2mr}{ϱ^{2}} & 0 & 0 & \frac{2mr}{ϱ^{2}} a sin^{2} ϑ \\ 0 & −\frac{ϱ^{2}}{Δ} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −ϱ^{2} & 0 \\ \frac{2mr}{ϱ^{2}} a sin^{2} ϑ & 0 & 0 & −\frac{sin^{2} ϑ}{ϱ^{2}} ((r^{2} + a^{2})^{2} − Δa^{2} sin^{2} ϑ) \end{matrix})

Die Metrik ist unabhängig von der Koordinatenzeit t, also ist k = ∂_{t} ein Killingvektor. Daraus ergibt sich für die Killing-1-Form

K = g_{tt}dt + g_{tφ}dφ
dK = g_{tt},_{r} dr ∧ dt + g_{tt},_{ϑ} dϑ ∧ dt + g_{tφ},_{r} dr ∧ dφ + g_{tφ},_{ϑ} dϑ ∧ dφ
K ∧ dK = (g_{tt}g_{tφ},_{r} −g_{tφ}g_{tt},_{r})dt ∧ dr ∧ dφ
+(g_{tt}g_{tφ},_{ϑ} −g_{tφ}g_{tt},_{ϑ})dt ∧ dϑ ∧ dφ ≠ 0

Die Kerr-Metrik ist also nur stationär, aber nicht statisch.

Neben dem zeitartigen Killingvektor ξ = ∂_{t} (zeitunabhängig, stationär) existiert noch ein weiterer η = ∂_{φ}, der aus der Axialsymmetrie folgt.

4.3 Besondere Hyperflächen

Für den Killingvektor ξ = ∂_{t} gilt:

G(ξ, ξ) = g_{tt} = 1 − \frac{2mr}{ϱ^{2}}

Aus G(ξ, ξ) = 0 folgt die Bedingung ϱ^{2} = 2mr und daraus

r_{s}(ϑ) = m + \sqrt{m^{2} − a^{2} cos^{2} ϑ}

Da r_{s}(ϑ = π/2) reell sein muß, impliziert dies

m^{2} > a^{2}

da sonst eine ”nackte Singularität“ auftreten würde. Der Fall m^{2} = a^{2} wird das ”extreme Kerr–Black–Hole“ genannt. Wie aus r_{s}(ϑ) ersichtlich ist, ist ξ für r > r_{s}(ϑ) zeitartig, bei r = r_{s}(ϑ) lichtartig und innerhalb raumartig. D.h. im Bereich r < r_{s}(ϑ) gibt es keine ruhenden Beobachter, die Metrik ist dort nicht stationär. r_{s}(ϑ) wird daher als ”static limit“ bezeichnet. Die Fläche r = r_{s}(ϑ) ist durch die Funktion h := r − r_{s}(ϑ) bestimmt mit dem Normalenkovektor

dh = dr + \frac{1}{\sqrt{m^{2} − a^{2} cos^{2} ϑ}}a^{2} cos ϑ sin ϑdϑ

Der Betrag des Normalenvektors ist:

g(dh, dh) = g^{rr} + (\frac{a^{2} cos ϑ sin ϑ}{\sqrt{m^{2} − a^{2} cos^{2} ϑ}})^{2} g^{ϑϑ}

= −\frac{Δ}{ϱ^{2}} + \frac{a^{4} cos^{2} ϑ sin^{2} ϑ}{m^{2} − a^{2} cos^{2} ϑ} (−\frac{1}{ϱ^{2}} )

= −\frac{1}{ϱ^{2}} \frac{1}{m^{2} − a^{2} cos^{2} ϑ} (Δ · (m^{2} − a^{2} cos^{2} ϑ) + a^{4} cos^{2} ϑ sin^{2} ϑ) = …

Nebenrechnung:

Δ(r_{s}(ϑ)) = m^{2} + 2m√ + (m^{2} − a^{2} cos^{2} ϑ) − 2m^{2} − 2m√ + a^{2} = a^{2} sin^{2} ϑ

Daher:

g(dh, dh) = − \underbrace{\frac{1}{ϱ^{2}}}_{>0} \underbrace{\frac{1}{m^{2} − a^{2} cos^{2} ϑ}}_{>0} (\underbrace{m^{2}a^{2} sin^{2} ϑ}_{>0})

Somit folgt:

g(dh, dh) = \begin{cases}< 0  Normalenvektor ist raumartig \\ = 0  Normalenvektor ist lichtartig für sin ϑ = 0, also ϑ = 0, π \end{cases}

Ein raumartiger Normalenvektor impliziert eine zeitartige Fläche; die Fläche r = r_{s}(ϑ) ist daher an jeder Stelle mit Ausnahme der Pole zeitartig und kann folglich in beiden Richtungen durchquert werden. Das static limit ist kein Ereignishorizont.

Ein Ereignishorizont tritt erst bei g_{rr} = ∞ (Δ = 0) auf; diese Bedingung definiert zwei sphärisch-symmetrische Ereignishorizonte:

r_{±} = m ± \sqrt{m^{2} − a^{2}}

Der Normalenvektor ist gegeben durch dh_{±} = dr|_{r=r_{±}}, daher

g(dh_{±}, dh_{±}) = g^{rr}|_{r=r_{±}} = −\frac{Δ}{ϱ^{2}} = 0

Die Flächen r = r_{±} sind folglich beide lichtartig und stellen Ereignishorizonte dar. Der Bereich zwischen r = r_{+} und r = r_{s}(ϑ) wird die Ergosphäre genannt.

4.4 Eigenschaften der Ergosphäre

Das Linienelement der Kerr-Metrik kann in der Form

ds^{2} = (1 − \frac{2mr}{ϱ^{2}} ) dt^{2} − \frac{ϱ^{2}}{Δ} dr^{2} − ϱ^{2}dϑ^{2}

+ 2 \frac{2mr}{ϱ^{2}} a sin^{2} ϑ dφ dt − \frac{sin^{2} ϑ}{ϱ^{2}} ((r^{2} + a^{2})^{2} − Δa^{2} sin^{2} ϑ) dφ^{2}

geschrieben werden. Für zeitartige Weltlinien muß ds^{2} > 0 gelten. Die einzigen positiven Terme der Kerr-Metrik sind g_{tt} und g_{φt}. Normalerweise ist g_{tt} groß genug um die negativen Terme g_{rr}, g_{ϑϑ} und g_{φφ} zu kompensieren; in der Ergosphäre ist jedoch g_{tt} selbst negativ, der einzige positive Term ist daher g_{φt}. Damit der φ − t Term in ds^{2} zum Tragen kommt, muß dφ ≠ 0 sein, d.h. es gibt in der Ergosphäre keine Bahnen mit φ = const.

Die Killingvektoren ξ, η sind beide raumartig (G(ξ, ξ) = g_{tt} < 0, G(η, η) = g_{φφ} < 0), es läßt sich aber eine zeitartige Linearkombination ξ̄ = ξ + Ωη finden, da bei G(ξ̄, ξ̄) die Komponente g_{φt} auftritt:

G(ξ̄, ξ̄) = G(ξ +Ωη, ξ +Ωη) = G(ξ, ξ)+2ΩG(ξ, η)+Ω^{2}G(η, η) = g_{tt} +2Ωg_{φt} +Ω^{2}g_{φφ}

Bei geeigneter Wahl von Ω ist ξ̄ zeitartig und daher ξ̄ der Tangentenvektor einer möglichen Weltlinie. Der erlaubte Bereich von Ω läßt sich aus der Grenzbedingung G(ξ̄, ξ̄) = 0 ablesen:

g_{tt} + 2Ωg_{φt} + Ω^{2}g_{φφ} = 0

Daraus folgen Minimal(Ω_{−})– und Maximal(Ω_{+})–Wert für Ω:

Ω_{±} = −\frac{g_{φt}}{g_{φφ}} ± \sqrt{\frac{g_{φt}^{2}}{g_{φφ}^{2}} − \frac{g_{tt}}{g_{φφ}}}

(wobei g_{φφ} < 0). Am static limit (g_{tt} = 0) ist Ω_{−} = 0, d.h. ein relativ zu weit enfernten Beobachtern ruhender Beobachter bewegt sich dort lokal mit Lichtgeschwindigkeit. In der Ergosphäre (g_{tt} < 0) ist g_{tt}/g_{φφ} positiv, der Wurzelausdruck ist also kleiner als der davorstehende Term, folglich ist Ω_{−} > 0 in der Ergosphäre.

Falls g_{φt}^{2}/g_{φφ}^{2} = g_{tt}/g_{φφ}, dann ist Ω_{−} = Ω_{+}. Diese Bedingung (g_{φt}^{2} = g_{φφ}g_{tt}) bedeutet:

[\frac{2mra sin^{2} ϑ}{ϱ^{2}}]^{2} = [−\frac{sin^{2} ϑ}{ϱ^{2}} ((r^{2} + a^{2})^{2} − Δa^{2} sin^{2} ϑ)] [1 − \frac{2mr}{ϱ^{2}} ]
(2mra sin^{2} ϑ)^{2} = − sin^{2} ϑ ((r^{2} + a^{2})^{2} − Δa^{2} sin^{2} ϑ) \underbrace{(ϱ^{2} − 2mr)}_{Δ−a^{2} sin^{2} ϑ}

a^{2} sin^{2} ϑ(r^{2} + a^{2} − Δ)^{2} = ((r^{2} + a^{2})^{2} − Δa^{2} sin^{2} ϑ) (a^{2} sin^{2} ϑ − Δ)
⋯
0 = Δ · (r^{2} − a^{2} cos^{2} ϑ)^{2}

Die Bedingung Ω_{−} = Ω_{+} ist somit gleichbedeutend mit Δ = 0 beziehungsweise r = r_{±}. Am Ereignishorizont kann ein Beobachter nur mit einer einzigen Winkelgeschwindigkeit Ω_{H} kreisen, die durch

Ω_{H} = − \frac{g_{φt}}{g_{φφ}} |_{r=r_{+}} = \frac{2mr_{+}a}{r_{+}^{2} + a^{2}}^{2} = \frac{a}{r_{+}^{2} + a^{2}}

gegeben ist. Der Horizont eines Schwarzen Loches rotiert also wie ein starrer Körper mit gleicher Winkelgeschwindigkeit im gesamten Bereich (sog. ”rigid body“-Theorem). (Vgl. Abb. 3 aus [7], p.166).

Abbildung 3: Schnitt entlang der quatorebene eines Kerr-BH. Die Kreise zeigen die Wellenfront eines Lichtblitzes kurz nach der Emission an.

4.5 Maximale Erweiterung der Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik ist invariant singulär bei ϱ^{2} = 0. Dies erfordert r = 0 und ϑ = π/2. Die Bedingung r = 0 ist alleine nicht ausreichend. Die Singularität wird in Boyer-Lindquist-Koordinaten zwar nur durch den Punkt r = 0 dargestellt, in Wirklichkeit hat sie jedoch eine ringförmige Gestalt.

Die Kerr-Metrik ist in den Regionen I (r > r_{+}) und III (r < r_{−}) stationär (Δ > 0), in der Region II (r_{−} < r < r_{+}) gibt es keinen zeitartigen Killingvektor. Die Hyperflächen r = const. sind in der Region II ebenfalls raumartig, sodaß diese von zeitartigen (in die Zukunft gerichteten) Weltlinien nur in Richtung kleineres r durchquert werden können.

Die Kerr-Metrik kann wie die Schwarzschildmetrik noch erweitert werden, indem für r negative Werte zugelassen werden. Diese erweiterte Metrik hat dieselbe Gestalt wie die gewöhnliche Metrik, mit der Ausnahme, daß t durch −t ersetzt wird. Die erweiterte Metrik ist bei negativen Werten von r asymptotisch flach.

In der Region III, im Bereich nahe die Singularität r = 0, kann der axiale Killingvektor η = ∂_{φ} zeitartig werden (bei ungeladenen rotierenden Schwarzen Löchern nur für r < 0, sonst auch für kleine Werte mit r > 0):

G(η, η) = \frac{(r^{2} + a^{2})^{2} − Δa^{2} sin^{2} ϑ}{r^{2} + a^{2} cos^{2} ϑ} sin^{2} ϑ

Aus G(η, η) = 0 folgt die Bedingung

r^{4} + a^{4} cos^{2} ϑ + a^{2}r^{2} + a^{2}r^{2} cos^{2} ϑ + 2mra^{2} sin^{2} ϑ = 0

Diese Bedingung ist erfüllbar für r = 0, ϑ = π/2. Negative Werte sind möglich für r < 0, ϑ ≈ π/2, also die quatorebene ”hinter“ der Singularität. Das bedeutet, daß Weltlinien mit t = const., r = const. und ϑ = const. und φ = variabel möglich sind.

Abbildung 4: Querschnitt durch die Rotationsachse

Da φ aber eine periodische Koordinate ist, hat dies die Existenz von zeitartigen, geschlossenen Weltlinien (”closed timelike lines“, CTL) zur Folge! (Vgl. dazu Abb. 5 aus [1], p.115.)

Durch jeden^{1} Punkt der Region III (r < r_{−}) führen geschlossene zeitartige Weltlinien, in den Gebieten I und II tritt jedoch keine Kausalitätsverletzung auf. Der innere Ereignishorizont trennt somit Gebiete, in denen das Kausalitätsprinzip verletzt wird, von solchen, in denen die Kausalität erhalten bleibt. (Vgl. [7], p.164)

In III ist r = const. eine mögliche zeitartige Weltlinie (wenn auch nicht unbedingt eine Geodäte), die Singularität mit r = 0 ist also selbst zeitartig (im Gegensatz zur Schwarzschild-Singularität, die raumartig ist, da Linien mit r = const. in der Schwarschild-Region II nicht zeitartig sind). D.h. ein Raumfahrer kann es vermeiden, auf r = 0 zu treffen, stattdessen kann er über I, II, III wieder in eine Region II′ und schließlich I′ gelangen (angeschlossene ”Weiße Loch“–Lösung – Wurmloch). Diese Reise kann allerdings nur in einer Richtung – die Zukunft – durchgeführt werden. Der Raumfahrer könnte niemals in die Region I zurückkehren und berichten, was er im Paralleluniversum I′ gesehen hat. An das Paralleluniversum I′ können noch unendlich viele weitere Universen angeschlossen werden (I′′, I′′′ etc.) die jeweils durch Regionen II und III miteinander verbunden sind.

Aus dem zeitartigen Charakter der Singularität folgt zudem, daß in III keine Cauchy-Flächen existieren, da aus der Singularität jederzeit zeit– oder lichtartige Geodäten hervorgehen können, die nicht durch eine raumartige Hyperfläche in der Vergangenheit bestimmt werden (im Gegensatz zu I und II). Die Fläche r = r_{−} wird deshalb auch als Cauchy-Horizont bezeichnet.

4.6 Energiegewinnung aus Kerr-BH (Penrose-Mechanismus)

Die Energie eines Teilchens der Ruhemasse m_{0} und der Geschwindigkeit u ist durch

E = m_{0} < ξ, u >= m_{0}ξ_{σ}u^{σ}

gegeben. Normalerweise ist E > 0, da u und ξ zeitartig sind. In der Ergosphäre jedoch ist ξ raumartig (g(ξ, ξ) < 0), sodaß dort keine allgemeinen Aussagen über < ξ, u > mehr möglich sind; d.h. Teilchen mit negativer Gesamtenergie (Ruhemasse+kinetische Energie) sind möglich. Es gibt Orbits mit negativer Energie (unabhängig von der Masse) – Teilchen auf solchen Bahnen sind auf ewig gebunden.

1Gemäß Hawking in [7], p.164. Nach B.Carter ([1], p.113) tritt in III Kausalitätsverletzung nur in Bereichen mit ∂_{φ} zeitartig auf.

Abbildung 5: Graphische Darstellung der maximalen Erweiterung der Kerr-Lösung. Einfach schraffierte Flächen entsprechen der Ergosphäre (∂_{t} raumartig), doppelt schraffierte Flächen den Bereichen mit ∂_{φ} zeitartig.

Die Idee des Penrose-Mechanismus besteht darin, einen Körper in die Ergosphäre zu schicken und sich dort so aufspalten zu lassen, daß ein Bruchstück einen Orbit negativer Energie erhält. Wegen der lokalen Energie-Impuls-Erhaltung muß das andere Bruchstück Energie gewinnen und kann somit einen Teil der Rotationsenergie des Schwarzen Loches nach Verlassen der Ergosphäre an die Umgebung abgeben. Der Prozeß kann solange wiederholt werden, bis der Drehimpuls gleich Null ist. Aus einem extremen Kerr-BH können auf diese Weise maximal 29% der Anfangsruhemasse an Energie gewonnen werden.

4.7 Wechselwirkungen rotierender BH

Obwohl die gemeinsame Beschreibung rotierender Schwarzer Löcher auf nichtlineare Gleichungen führt, deren Lösungen nicht mehr explizit dargestellt werden können, lassen sich dennoch einige qualitative Aussagen machen:

Das Drehmoment trägt zur Gesamtmasse eines BH bei, die Rotationsenergie ist also erwartungsgemäß positiv. Im Fall zweier rotierender Schwarzer Löcher ist das Verhältnis zwischen scheinbarem Horizont (nicht direkt der Ereignishorizont) und Quadrat der Gesamtmasse größer, wenn die Schwarzen Löcher entgegengesetzt rotieren. Dies ist ein Hinweis darauf, daß beim Zusammenstoß zweier entgegengesetzt rotierender Schwarzer Löcher weniger Energie (in Form von Gravitationsstrahlung) frei werden kann als bei gleicher Rotationsrichtung. Ein derartiges Verhalten ist konsistent mit der Vorstellung, daß zwischen den beiden Schwarzen Löchern eine drehmomentabhängige Kraft wirkt, anziehend bei entgegengesetzter und abstoßend bei gleicher Drehrichtung. Rechnungen zeigen, daß bei großen Abständen diese Kraft proportional zur vierten Potenz des Abstandes ist, also ein Kraftgesetz gilt, daß analog ist zu dem magnetischer Dipole. (Vgl. [1], p. 54).

5 Rotierende Staubscheiben

Stationäre axialsymmetrische Lösungen:

Annahme: Es gibt zwei Killingvektoren ξ, η mit [ξ, η] = 0 im Vakuum (Theorem von Carter → asymptotisch flache Raumzeit).

Forderung: Minkowski-Verhältnisse auf der Achse, da die Lösung sonst irregulär wird (kosmische Strings).

Metrik in Weylschen Koordinaten {t, r, z, φ}:

ds^{2} = e^{−2U} [e^{2U}(dr^{2} + dz^{2}) + r^{2}dφ^{2}] − e^{2U}(dt + A(r, z)dφ)^{2}

wobei gilt: e^{2U} = g(ξ, ξ). Beispiel: Schwarzschildmetrik in Weylschen Koordinaten:

2U = ln [\frac{r_{+} + r_{−} − 2m}{r_{+} + r_{−} + 2m}] r_{±} = r^{2} + (z ± m)^{2}

Weitere Annahme: ”Keine Ringspulen“ → z.B.: Torus mit Schlauch umwickelt, in dem Materie strömt (Mathematisch: Der Twist ω_{α} = ε_{αβγδ}ξ^{β}ξ^{γ;δ} verschwindet). Zusätzliche Forderung: Spiegelsymmetrie (Ein quator existiert) g_{μν}(r, z) = g_{μν}(r, −z).

Ansatz für die 4-Geschwindigkeit:

u^{μ} = e^{−V} (ξ^{μ} + Ωη^{μ})

mit Ω = const. , d.h. keine Schichtenrotation, thermodynamisches Gleichgewicht (Die Ableitung würde auch funktionieren für Ω variabel). Zustandsgleichungen:

L_{ξ,η}(phys. Größen) = 0 T _{;μ}^{μν} = 0

Daraus folgt:

ϱ = ϱ(p)  \frac{dp}{dV} = −(ϱ + p)  → p = p(V)

Beispiele: ϱ = const. (wie Innere Schwarzschildlösung):

p = e^{V_{0}−V} − 1  innen
p = 0  außen

Die Oberfläche ist charakterisiert durch p(V_{0}) = 0 ⇒ V_{0} = const.; sog. ”tropfbare Zustandslösungen“. Falls p keine Nullstellen hat, handelt es sich um irgendetwas anderes ohne Oberfläche. p(V) darf einen Knick haben (p′ unstetig), da ϱ springen darf. U … Verallgemeinerung des Newtonschen Potentials V … Verallgemeinertes Newtonsches Potential im rotierenden System V_{0} … meßbar durch die Rotverschiebung von Teilchen, die vom Pol kommen. A … Gravitomagnetisches Potential

Satz: Die axialsymmetrischen statischen Gravitationsfelder idealer fluider Medien sind Minimalflächen des Pseudoriemannschen Potentialraumes V_{4}^{P} (Vgl. Seifenlauge). Staubscheiben als ”0.te Näherung einer Galaxie“; Behandlung mit A ≪ 1, U < 1.

V = V_{0} = U − Ω^{2}/2r^{2}

Es ergibt sich Staub als universeller Grenzfall mit der Flächendichte

σ = \frac{1}{2}V,_{z}

Ergebnisse können praktisch nur numerisch gewonnen werden, mithilfe der Methode der ”inversen Streuung“[4].

6 Das Machsche Prinzip

Mach forderte, den Begriff des absoluten Raumes aus der Physik zu entfernen und die Trägheit der Masse auf den Kosmos zu beziehen. Das Machsche Prinzip ist das letzte große Prinzip der klassischen Physik, das einer Erklärung noch bedarf. Obwohl es besonders bei der Begründung der ART eine große Rolle gespielt hat, ist es immer noch nicht eindeutig formuliert und schon gar nicht eindeutig theoretisch realisiert. Der Grund liegt nicht zuletzt darin, daß das Machsche Prinzip zunächst nur mit einem Paradoxon erklärt wird, dessen Lösung aber nicht auf einfache Weise erreicht werden kann:

Auch ohne Kenntnis des Sternenhimmels deutet die Drehung der Schwingungsebene eines Focaultschen Pendels – wie auch diverse andere Effekte – darauf hin, daß die Erde rotiert. Vergleicht man diese Rotationsbewegung mit dem glücklicherweise doch beobachtbaren Tagesablauf, stellt man – überrascht? – fest, daß beide Bewegungen übereinstimmen. Newton erklärte dies mit einem absoluten Raum, dessen Zweck darin besteht, rotationsfreie Bewegungen zu definieren (Eimerversuch: Die Wasseroberfläche krümmt sich nicht bei einer Rotation ”relativ“ zum Eimer, sondern bei einer Rotation ”relativ“ zum absoluten Raum). Ernst Mach hingegen behauptete, daß der absolute Raum physikalisch nicht vermessen werden kann und eine Fiktion ist. Der absolute Raum Newtons könne nur an reellen Objekten oder der Bewegung von Gesamtsystemen fixiert werden.

”Niemand kann sagen, wie der Eimerversuch verlaufen würde, wenn die Gefäßwände immer dicker und massiver würden“ schreibt E. Mach als Urteil über Newtons Gedankenversuch. Inzwischen ist die ART in der Lage, den Einfluß des Eimers bzw. seines Gravitationspotentials auf die Bewegung der Flüssigkeit zu beschreiben und Zahlenwerte zu nennen. Dazu betrachtet man den Einfluß verschieden schnell rotierender und verschieden massiver Körper auf etwa ein frei fallendes Gyroskop (Lense-Thirring-Effekt), der allerdings meßtechnisch von Effekten der Raumkrümmung getrennt werden muß. Infolgedessen kann man nun eine Komponente des Gravitationsfeldes rotierender Objekte immer als Machschen Effekt verstehen, beim Kosmos als Ganzem besteht jedoch nach wie vor die Schwierigkeit, Rotation ohne Grenzbedingung zu beschreiben. (Vgl. [5], p.216)

Quellen

[1] C. DeWitt. Black Holes. Gordon and Breach Science Publishers, 1972.

[2] Eisenhart. Riemannian Geometry. Princeton University Press, 1949.

[3] H.Stephani. Allgemeine Relativitaetstheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1980.

[4] G.Neugebauer, H.Stephani, D.Kramer. Heraeusferienkurs Physik, GRAVITA-TION. Jena, 19.9-30.9 1994.

[5] Dierck-Ekkehard Liebscher. Kosmologie. Barth Verlagsgesellschaft mbH, 1994.

[6] Norbert Straumann. General Relativity and Relativistic Astrophysics. Springer Verlag, second edition, 1991.

[7] S.W.Hawking and G.F.R.Ellis. The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press, 1973.