Differentialgeometrie neu erlebt - Eine Übungsreise

Stellen Sie sich vor, Sie wären theoretischer Physiker und planen eine Reise nach Kartesien. Leider finden Sie bei Ihrem Buchhändler keine kartesische Karte und begnügen sich daher mit einer osteuropäischen. Ohne nennenswerte Schwierigkeiten durchqueren Sie Ungarn, Rumänien, Bulgarien, die Türkei und stehen jetzt an der syrischen Grenze. Der Zöllner fragt Sie nach Ihrem Paß. Sie durchsuchen Ihre Manteltaschen, Ihre Hosentaschen, das Handschuhfach Ihres Fahrzeuges, das Innenfutter des am Rücksitz liegenden Regenmantels, und siehe da: Sie finden, alt, verstaubt und offensichtlich schon lange nicht mehr angewandt, eine Zeit-1-Form.

Frage: Was können Sie mit der Zeit-1-Form anfangen ?

Antwort: Sie können damit die Dauer Ihrer bisherigen Reise ermitteln, da die Bahnkurve Ihnen ja bekannt ist. Sie machen dies, indem Sie die Zeit-1-Form auf den Tangentialvektor Ihrer Bahnkurve anwenden und dann entlang der Kurve

aufintegrieren, d.h.: τ_{1 2} = ∫_{s_{1}}^{s_{2}}ds⟨Z, q̇(s)⟩.

Außerdem können Sie feststellen, ob Ihr Weg bisher raumartig oder zeitartig war. Wenn gilt: ⟨Z, q̇(s)⟩ ≠ 0 ∀s, dann war der Verlauf ihres Weges bislang zeitartig und Sie dürfen Ihre Reiseroute eine zeitartige Weltlinie nennen, ohne befürchten zu müssen, mit dem Gesetz in Konflikt zu geraten, andernfalls war Ihr Weg raumartig und Sie sollten jeden Punkt nochmals einzeln überprüfen, ob sich vielleicht nicht doch ein raumartiger Tangentenvektor auf Ihrem Fahrweg befand - man kennt ja schließlich die Qualität ausländischer Verkehrstrecken; Sie tun dies, indem Sie ⟨Z, a⟩ berechnen: Ist das Ergebnis 0, ist der Vektor a raumartig und Sie haben den Übeltäter gefunden, andernfalls ist a zeitartig - suchen Sie weiter. Sollten Sie zu den Glücklichen gehören, denen eine zeitartige Weltlinie eigen ist, dürfen Sie sich über Ihre Existenz freuen und sind damit rechtlich in die Lage versetzt, Ihre 4-Geschwindigkeit u := q̇(s)/⟨Z, q̇(s)⟩ definieren zu können. Immerhin etwas positives: Die 4-Geschwindigkeit werden Sie noch brauchen, spätestens dann, wenn Sie einmal in einer Mußestunde Ihre Beschleunigung ausrechnen wollen.

Nachdem Sie dem Zöllner dies alles erklärt haben, ist er mit Ihnen einer Meinung, daß der Besitz eines Reisepasses für die Physik als solche ohne Bedeutung ist. Dennoch sei er Beamter und habe die Gesetze seines Landes zu verfolgen und... Sie schenken ihm daher Ihre Zeit-1-Form, damit er für seine Enkel etwas zum Spielen hat und für dieses Mal möge er doch noch ein Auge zudrücken.

Frage: Können Sie sich derartige Geschenke leisten ? Haben Sie überhaupt die Möglichkeit, jemals wieder zu einer äquivalenten Zeit-1-Form zu kommen ?

Antwort: Was Sie wissen, dem Zöllner aber verheimlichen: Die Zeit-1-Form ist leicht zu reproduzieren ! Es gilt zwar Z = dt, aber wenn Sie ein anderes t̄:= t + const. nehmen, dann erhalten Sie ebenfalls wieder Z = dt = dt̄, da die Konstante bei der Bildung des Differentials wegfällt. Sie können sich also ohne Probleme jederzeit eine neue Zeit-1-Form konstruieren; da werden Sie doch wohl zuhause noch eine im Kühlschrank finden können.

Zufrieden und verwirrt läßt der Zöllner Sie passieren.

Ein paar Tage später ereignet sich in Damaskus folgendes: Sie schlendern so über den Marktplatz und bewundern die überaus reiche Auswahl exotischer Gewürze und sonstiger orientalischer Gegenstände. Da hören Sie von hinten ein leises ‘Pssst !’ - Sie drehen sich um und sehen am Eingang zu einer dunklen Seitengasse eine unheimliche, vermummte Gestalt stehen, genau so, wie Sie sich immer schon einen ägyptischen Grabräuber vorgestellt haben. Sie gehen auf ihn zu, Neugier war ja schon immer eine der Fundamentalkräfte der Physiker^{1} . Nun macht ihnen dieses dubiose Wesen ein Angebot, daß Sie einfach nicht ablehnen können, und nachdem Sie den Preis, der angeblich schon weit unter dem Einkaufspreis läge, noch auf 1/e gedrückt^{2} haben, verkauft er Ihnen ein unförmiges Gebilde, das Sie als ”Metrik“ identifizieren. Zufrieden über dieses phantastische Geschäft setzen Sie ihre Reise fort. Mitten in der jordanischen Wüste fällt Ihnen auf: Die scheinbar so günstige Metrik ist entartet ! Deshalb also wollte der Araber sie unbedingt verkaufen - wahrscheinlich wäre er mit dem Verkaufspreis noch weiter heruntergegangen, aber jetzt ist es zu spät; zurückgeben geht nicht, und zum Verwerfen ist die Metrik eigentlich doch zu schade.

1Keinesfalls zu verwechseln mit den Fundamentalkräften der Physik !

Frage: Was machen Sie also nun mit Ihrer entarteten Metrik ?

Antwort: Wie Sie sicher wissen, kann man mit einer Metrik die Länge einer Linie berechnen. Natürlich sind Sie daran interessiert, zu berechnen, wie weit Sie von Ihrem Heimatsort entfernt sind. Ihre Metrik läßt es aber nur zu, daß Sie ihr zwei Kovektoren übergeben^{3}; ausgeartete Metriken, die Vektoren verarbeiten können, wurden zwar im vorigen Jahrhundert noch massenhaft hergestellt, da Sie aber den entscheidenden Nachteil aufwiesen, mit ihnen nicht aus einem Kovektor einen Vektor sondern nur umgekehrt machen zu können, waren sie immer schon ein Werkzeug fanatischer Spezialisten, und nach der Weltwirtschaftskrise brach der Markt vollständig zusammen, sodaß sie schon bald nicht mehr erhältlich waren. Das Aufkommen invertierbarer, nicht ausgearteter Metriken, die heute dank Massenproduktion fast schon in jedem Haushalt zu finden sind, ließ auch die letzten Überreste aussterben. Sie besitzen leider noch keine dieser modernen Metriken (was Sie bereits jetzt schwer bereuen) und müssen daher mit Ihrer syrischen, entarteten Metrik h das Auskommen finden. Daher suchen Sie am Straßenrand einen Korahmen {N^{a}}. Der Erstbeste genügt Ihnen, sofern er nur die Bedingung erfüllt, daß h(N^{a}, N^{b}) = η^{ab}, wobei η^{00} = 0, η^{aa} = 1 ∀a > 0 und η^{ab} = 0 ∀a ≠ b. Wie Sie ebenfalls wissen, gehört zu jedem Korahmen auch eindeutig ein Rahmen; den suchen Sie aber nicht - irgendjemand wird schon darüber stolpern. Jede der räumlichen Komponenten Ihres Korahmens können Sie nun auf die Tangentenvektoren Ihrer Fahrspur im Wüstensand anwenden. Wenn Sie nun über alle summieren, die Wurzel ziehen und entlang der Straße integrieren, erhalten Sie die Länge Ih-

res Weges, d.h.: l_{12} = ∫_{s_{1}}^{s_{2}}ds\sqrt{∑_{k=1}^{3}⟨N^{k}, q̇(s)⟩}. Ach, hätten Sie doch nur eine nicht

ausgeartete Metrik bei sich !

Sie kommen zurück in die Zivilisation, nach Ägypten, und besuchen dort selbstverständlich auch die Pyramiden. Während Sie noch rätseln, an welchen Operator Sie diese Bauwerke erinnern, und ob man sie vielleicht nicht doch andersherum hätte bauen sollen, löst sich das Problem von selbst: Ein Arbeitskollege aus Ihrem Heimatsort schleicht sich von hinten an Sie heran und wirft Ihnen in einem Moment, in dem Sie es am wenigsten erwarten, einen Affinzusammenhang vor die Füße. Natürlich können Sie ihn ganz gut gebrauchen, aber gemein wie Ihr Kollege ist, haben Sie den Affinzusammenhang nun nur in einer zentralafrikanischen Karte, das nützt Ihnen natürlich in Ägypten wenig.

Frage: Sie müssen den Affinzusammenhang also von einer Karte in eine andere transformieren. Wie machen Sie das ?

Antwort: Sie begeben sich raschest in das nächste Reisebüro und lassen sich dort eine Koordinatentransformation geben. Damit können Sie sich nun die Koordinatentransformationsmatrix αμ̄ ; μ := \frac{∂xμ̄}{∂x^{μ}} ausrechnen. Mit der Transformationsformel für den Affinzusammenhang ∇_{μν}^{σ} = αν̄ ; ν,μασ ; ν̄ + αμ̄ ; μαν̄ ; ν∇σ̄ ; μ̄ν̄ασ ; σ̄ , wobei {xμ̄} zentralafrikanische und {x^{μ}} ägyptische Koordinaten sind, gehen Sie nun auf den nächsten arbeitslosen Akademiker zu, die man in den Vorstadtslums von Kairo ja mannigfach findet, und bitten ihn, er möge Ihnen die Komponenten ∇_{μν}^{σ} ausrechnen; in pharaonischer Zeit war das die Arbeit der niedrigsten Haussklaven, folglich wird man von Ihnen für diese Arbeit keine Unsummen abverlangen.

2e=2.7182818284590452353 …

3Offensichtlich haben Sie eine Kometrik zum Preis einer Metrik erworben ! Passen Sie nächstes Mal besser auf.

Sie haben nun endgültig genug von diesen Entwicklungsländern und wollen so schnell wie möglich zurück. Ihr Reisebüro empfiehlt Ihnen den Flugweg, was Sie nach dem Vergleich der 4-Geschwindigkeiten der angebotenen Verkehrsmittel ebenfalls bevorzugen. Ihre entartete Metrik verschenken Sie an den nächsten dahergelaufenen Bettler (Was meinen Sie, woher der syrische Halsabschneider seine Metrik hatte ?), denn im Duty-Free-Shop am Flughafen können Sie sich ja eine Minkowskische kaufen. Beim Einchecken am Schalter weist man Sie auf Ihr Übergepäck hin, und außerdem bräuchten Sie auch hier einen Paß, den Sie ja seit der syrischen Grenze noch nicht wiedergefunden haben. Kurzerhand transformieren Sie Ihren ägyptischen Affinzusammenhang in ein Inertialsystem, wodurch sich das Problem des Übergewichts sofort löst,

Frage: Warum ?

Antwort: In einem Inertialsystem sind alle ∇_{μν}^{σ} = 0.

und bestechen den Zollbeamten unter Verweis auf die ägyptische Landestradition (Pyramiden etc.) mit dem ägyptischen ∇. Nachdem Sie Ihre invertierbare Metrik g erworben haben, fällt Ihnen auf, daß sie sich in der Umgebung schwergewichtiger Damen und Herren zu verändern^{4} scheint. Sie ignorieren dies, da Sie es für reine Einbildung halten. Klammheimlich überzeugen Sie sich auf der Flughafentoilette, daß gilt: ∇g = 0. Sie können also ruhigen Gewissens Ihren Flug antreten.

Frage: Woraus können Sie dies schließen ? Was macht Sie so sicher ?

Antwort: ∇g = 0 bedeutet, Sie haben einen metrischen Zusammenhang in Ihrem Besitz. Die Länge der von Ihnen mitgeführten Gegenstände dürfte sich also während Ihres Fluges vorraussichtlich nicht ändern. Zudem stellen Sie fest, daß Ihr Zusammenhang torsionsfrei ( ∇_{μν}^{σ} = ∇_{νμ}^{σ} ) ist - es sind also keine Turbulenzen auf dem Heimflug zu erwarten.

Sie befinden sich nun über dem Mittelmeer in 10000m Höhe. Da Sie es eilig haben, drängen Sie sich zur Pilotenkabine vor und teilen dem Piloten mit, er möge doch auf einer Geraden fliegen. Schon beginnt dieser, seine Flugkurve das zweite Mal abzuleiten, da wirft der Kopilot ein, daß Sie sich nicht in einem Inertialsystem befänden, sondern in einer Boeing 747. Sie sind schockiert ! Was machen Sie jetzt mit Ihrem Affinzusammenhang ?

Antwort: Sie lassen sich von der Chefstewardeß einen neuen bringen und berechnen die Kosten dafür der Fluggesellschaft.

Nun können Sie überprüfen, ob Ihr Pilot wirklich so fliegt, daß ∇q̇q̇ = 0, und teilen ihm mit, er stünde im Falle einer Abweichung mit einem Fuße bereits im Gefängnis. (Achtung: Nicht in allen Staaten ist es illegal, keine Gerade zu fliegen! Kuba beispielsweise zahlt hohe Prämien für Piloten, die vom geraden Kurs abweichen.) Ihr Flugführer zweifelt noch, ob Ihre Berechnung wirklich ein Kriterium für einen internationalen Bestimmungen gehorchenden Flug ist. Sie beweisen ihm daher, daß ihr Affinzusammenhang krümmungsfrei ist.

Frage: Wie überzeugen Sie ihn ?

Antwort: Sie berechnen vorerst die Zusammenhangs-1-Form: ∇_{μ}^{σ} = ∇_{μν}^{σ}dx^{ν}, und damit den Krümmungstensor K_{μ}^{σ} = d∇_{μ}^{σ} + ∇_{α}^{σ} ∧ ∇_{μ}^{α}. Zeigen Sie ihm, daß tatsächlich alle Komponenten 0 sind.

Nach dieser eindrucksvollen Demonstration akzeptiert der Pilot ab sofort jede von Ihnen vorgeschlagene Kursänderung ohne Widerspruch. Während Sie sich noch wundern, warum eigentlich der Kopilot orthogonal auf den Piloten steht, verlassen Sie wieder die Flugkanzel und begeben sich auf ihren Sitzplatz. Nach einigen Umwegen ( Warum hat Ihnen die Stewardeß nicht gesagt, daß die Erde rotiert ? So sind Sie zwar auf einer Geraden geflogen, geraten aber ganz woanders hin, da sich die Erdkugel unter Ihnen wegbewegt! Der Pilot glaubt Ihnen von nun an gar nichts mehr und kommt so auf dem schnellsten Wege zum Ziele ) setzt das Flugzeug zur Landung an. Sie stellen das Schmauchen ein und fasten. Mit einem leichten Ruck berührt das Fahrwerk die Landebahn. Plötzlich platzt der Reifen des Bugrades.

4Siehe auch: A. Einstein, Allgemeine Relativitätstheorie

Frage: Welche Kräfte wirken dort ? Durch welche geheimnisvollen Phänomene wurde der Gummischlauch zerrissen ?

Antwort: Hmm... Die Zen -

Die Reste des Bugrades bohren sich in den Boden, die Boeing beginnt daraufhin, sich um die durch das Bugrad definierte Achse zu drehen und wird dadurch zu einem rotierenden Bezugssystem. Sie hingegen bewegen sich weiterhin aufgrund ihrer Trägheit entlang einer Geraden. Die Seitenwand stößt gegen Ihren Hinterkopf. Ganz deutlich spüren Sie, daß sie elektromagnetisch mit ihm wechselwirkt.

- tri -

Die rechte Tragfläche berührt den Boden, das Triebwerk reißt ab, geht in Flammen auf, der ganze rechte Flügel brennt und strahlt seine Energie teilweise in Form von elektromagnetischen Wellen ab.

- fug -

Auch die linke Tragfläche brennt nun. Der Rumpf zerbricht. Sie sehen die restlichen Passagiere auf ballistischen Bahnen Geodäten im inhomogenen Schwerefeld der Erde beschreiben. Die Pilotenkanzel dreht gerade eine Pirouette vor der Scheibe des aufgehenden Vollmondes.

Moment: Diese Kraft existiert doch überhaupt nicht !

Gerade noch rechtzeitig haben Sie erkannt, daß es diese Kraft, die die das Bugrad hätte zerreißen können, zwar gibt, aber existieren tut sie eben doch nicht. Schweißgebadet erwachen Sie. Die Landung war ohne Zwischenfälle, aber vielleicht sollten Sie doch nach Mitternacht keine Affinzusammenhänge mehr transformieren. Am Flughafen steigen Sie in ein Taxi und lassen sich heimwärts kutschieren. Obwohl Sie auf dieser Strecke zwar öfters fahren, ärgern Sie sich doch jedesmal über die unfrisierten Igel links und rechts der Straße. Erschöpft von Ihren Erlebnissen werfen Sie sich ins Bett und fallen, nachdem Sie noch einen Comic über die Kaluza-Klein-Theorie der fünfdimensionalen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit gelesen haben, in tiefen Schlaf.

Wenn Sie wieder aufstehen, sind Sie wahrscheinlich gerüstet für Ihre nächste Reise - eine Reise in die Welt der Quantenmechanik. Aber vergessen Sie nicht: Sie könnten jederzeit aufwachen !