EINFACH KOMPLIZIERT

APFELMÄNNCHEN //MANDELBROT-MENGE

GEMALTE MATHEMATIK

Vorwort
1.0    Warum Mathematik eine Malerin faszinierte
Inhalt
2.0    Aquarelle samt Beschreibung
3.0    Wer ist Mandelbrot / sein Leben und Wirken
3.1    Fraktale und Selbstähnlichkeit
3.2    Geschichtliches
3.3    Fraktale Geometrie
3.4    Fraktale Dimension
3.5    Mandelbrot Menge = Apfelmännchen
4.0    Schulbildung
4.1    Alt --Neu Gegenüberstellung /Apsidenmosaik -Detail
Nachhang
5.0    MOSAIK-Entwurf
5.1    Lebenslauf
5.2    Allgemeines
Schluß
6.0    Dank
Literaturangaben und Adressen

Vorwort

1.0 Warum Mathematik eine Malerin faszinierte

Noch rechtzeitig vor der Zeitenwende im Europäischen Kulturraum wird hier die Diskrepanz bzw. Harmonie von BEKANNTEM und BEKANNTGEWORDENEM vor Augen geführt. Voller Staunen beobachtete ich wunderschöne Muster auf dem Homecomputer, die aus einem Rechenprozess entstanden. Nie zuvor hatte ich solche interessanten Gebilde gesehen. Mein Gedanke war: wie kann ein unbeseelter Computer - also eine Maschine-, die nur ein technisches Hilfsmittel ist, SO ETWAS sichtbar machen? Ich fuehlte mich als Malerin herausgefordert und versuchte, meinen Gedanken Farbe und Form zu geben. Das war 1992. Meine 3 Aquarelle zeigen eine gewisse Reihenfolge resp. Entwicklung.

Inhalt

2.0 Aquarelle samt Beschreibung

Geometrische Körper ( Würfel, Pyramide, Zylinder Kugel etc), die wir in der Schule zu berechnen lernten, sind auf hellblauem Grund, in undefinierbarer Räumlichkeit geordnet. Dazwischen erscheint das Apfelmännchen fast unscheinbar, transparent in blauer Farbe. Seine Spitze trifft sich mit der Spitze der Pyramide im Unendlichen. Die beiden Würfel werden nach oben verschoben. Die Pyramide (Antike) beherrscht durch ihre Größe das Bild und scheint den Zylinder (Massgefäß) an den rechten Bildrand zu drängen. Die linearen Körper und Kugeln werden zu Gebilden, werfen keine Schatten; denn die Perspektive spielt keine Rolle in dieser harmonischen Kombination von 2 und 3 Dimensionalem, in der das Apfelmännchen sogar eine gebrochene Dimension versinnbildlicht.

[aqua2]

Hier sind 5 geometrische Körper auf lichtdurchflutetem gelben Grund frei im Raum verteilt.In der linken Bildhälfte ein kleiner Tetraeder, darunter ein Oktaeder und ein etwas räumlich gestalteter Ikosaeder, hingegen wird die dunkelblaurote Kugel zur Fläche und leitet über zum aufrechtstehenden Quader in malerisch-differenzierten Rottönen -die ein inneres Leuchten erahnen lassen. Eigenartig befremdlich die feinen Spiralen, die wie Fangarme sich dazudrängen- Es sind Ausläufer des Apfelmännchens (Mandelbrot-Menge), die Erscheinungsformen in der Natur ähneln.
Lineares ist mit Nichtlinearem kombiniert.

[aqua3]

Zwei große, gelbe Spiralformen - ähnlich einem Nautilus oder Bischofsstab- beherrschen die rosafarbene Fläche. Solche Gebilde ( Schäferstab genannt ) kann man am Rande der Mandelbrot-Menge entdecken. Ein gewisser Widerspruch von 2 und 3 Dimensionalem ist erkennbar:---die Spitze der fast aufgelösten Pyramide dringt in die gelbe Fläche des Schäferstabes. Die anderen geometrischen Körper (Würfel=Quader,Zylinder=Hexaeder) sind fast imaginär, fast aufgelöst bis zur Bedeutungslosigkeit, nur Strukturen.
Ihre Basis bleibt sichtbar; wir finden sie als Urformen der Natur wie z.B.von Kristallen. Auch die Grundrechenarten bleiben BASIS für neue Rechenprozesse.

Auf einer meiner Ausstellungen bemerkte ich, daß besonders ältere Betrachter Schwierigkeiten hatten, das Thema zu verstehen, obwohl sie großes Interesse zeigten bezüglich der Formen und Farben .Sie waren dann dankbar für einen Kommentar. Ich mußte erklären, was doch so einfach oder doch kompliziert ist?
Daraufhin begann ich mich Selbst eingehender zu informieren.
Die Namen MANDELBROT und KALIKOW habe ich mir gut gemerkt.

3.0 Wer ist MANDELBROT - sein Leben und Wirken ein Überblick von einer Malerin verfaßt.

Benoit B. Mandelbrot wurde 1924 in Polen (Warschau ) geboren und emigrierte nach Frankreich, wo ihn sein Onkel Szolem M., der als Mathematikprofessor am College de France wirkte, ihn auch unterrichtete. 1947 erwarb B.B. Mandelbrot bereits sein Diplom an der Ecole Polytechnique in Paris. Seit 1948 arbeitete er am California Institute of Technology, wo er über Turbulenzen des Luftstroms hinter Jets nachgrübelte. 1952 Rückkehr nach Paris.1987 Mitglied der Yale-Fakultät, Prof.of Mathematical Sciences. Mitglied der Americ. Academy für Kunst- und Wissenschaft, sowie der Natural Academy of Science. Viele Ehrendoktorate und Auszeichnungen. 1993 Wolf Price in Physics. Mathematiker bei I B M, T.J. Watson Research, Leiter für Computergraphics. Dort in einem Glasbau sitzend, beobachtete er die Silhouette der Hügelketten und kam zufällig auf die Idee der FRAKTALEN.

3.1 FRAKTALE und SELBSTÄHNLICHKEIT

*Sein unstetes Leben ist kennzeichnend für seine Forschungen und Beobachtungen auf verschiedenen Gebieten. Ebenfalls rein zufällig entdeckte er dabei Gebilde oder Strukturen, die wegen des Phänomens ihrer SELBSTÄHNLICHKEIT mit der herkömmlichen Geometrie nicht erklärt werden konnten. * Ferner erkannte Mandelbrot Probleme der Linguistik, also Wortkonstruktionen. Eine Sprache muß klar sein, die Worte müssen Sinn haben. LEIBNIZ verwies bereits auf die Schriftzeichen der Chinesen die einem Code entsprachen. Erst seit dem 17.Jahrhundert dank GALILEI, besonders DESCARTES verstehen wir algebraische Ausdrücke gleich einem Code für geometrische Formen wie Dreieck, Pyramide usw. und zwar global verständlich und eindeutig.

3.2 Geschichtliches

*Neu in der Geschichte der Mathematik ist die Sprache im Binär-System zu entschlüsseln. Diese Zahlenkombinationen sind heute in allen Bereichen also auch global gültig. Seinerzeit führte LINNE' sogar Doppelbezeichnungen mit Worten ein, um Irrtümer auszuschließen (Botanik / Zoologie). LAVOISIER verdanken wir die Nomenklatur für die Naturwissenschaften; denn Chemie ohne Fachsprache wäre unverständlich. NEWTON konnte seine Gravitationslehre in der Sprache der Mathematik und ihrer Gesetze erklären! Das 19.Jahrhundert entdeckte mit dem Prisma die Spektralanalyse. Die Astrophysik entschlüsselt den Code des Lichtes. Das 20. Jahrhundert erkannte den genetischen Code für die Biochemie. Die Sprache der Mathematik ist die Sprache der Dinge.Sprache ist Voraussetzung zum Verständnis--- wie es die Töne für die Musik sind. Nun schuf uns der Computer eine Bildsprache und dank Mandelbrot wurde die Geschichte der Mathematik revolutioniert. 1960 begann Mandelbrot mit dem Studium der Finanzwissenschaften. Dabei fiel ihm auf, daß Preisfluktuationen- an der Börse gewissen Turbulenzen gehorchten. Das ähnelte den Problemen bei Datenübertragungen /Telefonverbindungen mit dem Auf- und Ab- des Rauschens und ähnelte auch den Turbulenzen strömenden Wassers: Alles also Probleme, die wiederum mit den herkömmlichen Methoden nicht geklärt werden konnten.

3.3 Fraktale Geometrie

Um SICHSELBSTÄHNLICHE Phänomene und unendliche Komplexität zu charakterisieren, schuf Mandelbrot den Begriff der FRAKTALEN GEOMETRIE: Von POINCARE verlanlaßt, wandte Mandelbrot seine FRAKTALE GEOMETRIE an, um ein Problem der Astronomie zu lösen und fand einen seltsamen Attraktor von überwältigender Schönheit -( nach BRIGGS S.139 )

$[fractal3]$

Einige Bemerkungen über den Einfluß und Bedeutung der Fraktalen Geometrie

Mandelbrot erkannte, daß die Gesetze der SELBSTÄHNLICHKEIT wenig mit der klassischen Geometrie zu tun haben, wo die Größenskala ein oberflächlicher Begriff ist ***. Wichtig ist das MASS des IRRAGULÄREN ***: Er betrachtete Kuriositäten und Anomalien, die Ende des 19.Jahrhunderts namhafte Wissenschaftler beschäftigten, aber zu keinem Resultat geführt hatten z.B..Leibniz, Newtons's Technik u.a.m.

3.4 Fraktale Dimension

1967 Veröffentlichte er im SCIENCE MAGAZINE den vielbeachteten Titel: "Wie lang ist Britanniens Küste ?" mit dem erstaunlichen Resultat: "Die Länge ist abhängig von der Messgenauigkeit", d.h. von der Art des Messens und der Methode; nämlich entweder glatt und endlich aus der Ferne oder unendlich und sehr fraktal aus der Nähe! Die Küstenlinie von Britannien hat nämlich eine gebrochene Dimension. ( von 1,26 ) Im allgemeinen betragen Dimensionen-0-1-2 oder 3. Entscheidend sei die Beziehung zwischen Beobachter und dem beobachteten Gegenstand -- meint Brigg. 1996 entstand der Begriff der FRAKTALEN DIMENSION:

"To characterize this Self-similar and yet infinite complexity, Mandelbrot introduced into science the concept of fractal dimension; if a smooth curve had a dimension of one and a smooth surface a fractal dimension of two, a coastline -for instance- could be said to have a fractal dimension somewhere between" .....Zitat IBM Research

B.Mandelbrot listet in seinen Büchern aus 1977 und 1982 eine erstaunliche Anzahl von Fraktalen Phänomenen auf aus der Natur, überwiegend aus der Physik- aber auch- aus dem Bereich der Medizin / Anatomie bzgl. des Kreislaufs, Herz- und Atemrythmus, deren Ausdeutung eine entscheidende Hilfe für die Diagnose eines Herzstillstandes bedeutet. Gehirne, Lungen, Venen mit ihren Verzweigungen wirken chaotisch wie Berggrate. Ferner ist diese neue Methode den Astronomen hilfreich zur Berechnung von Sternhaufen / Galaxien, und so die Natur des Sternenhimmels erforschen. Es ist das Geheimnis der FRAKTALEN, das sich in monströsen Kurven der Geometrie entdecken läßt. FRAKTALE sind durch unendliches Detail charakterisiert, die durch simple Iteration, also gebrochene Dimensionen und Selbstähnlichkeit erzeugt werden- siehe Julia-Set. So z.B. liegt das Geheimnis einer Schneeflocke auch im Iterationsprozess ( nach KOCH ) d.h. immer der gleiche Schritt wiederholt sich auf kleinerer Skala.

[33a] [org]

Einzig im Kristall ist die Struktur geordnet (Einkristall)- aber bei den uns umgebenden Materialien nicht.

B.Mandelbrot war fasziniert von den geometrischen bzw. nichtgeometrischen Unregelmäßigkeiten, der Welt, den anorganischen und organischen sowie linearen und nichtlinearen Vorkommnissen also Ordnung und Chaos in der Natur.

[Chaos]

Das Chaos zieht uns magisch an... Endlich -- Unendlich // Anfang -- Ende
Im Strudel, Sog aus rotierenden Farbeindrücken in Kobaltblau - Gold und Rubinrot taucht das Betrachterauge ein wie in einem Tunnel bis zum anderen Ende. (Hinterglasmalerei)

Sein Statement: "Eine neue Geometrie läßt uns die Welt neu sehen".

Berggrat / Blitz

[blitz]

Wolken sind nicht kugelförmig- Berge sind nicht kegelförmig- Küstenlinien sind keine Kreise- Baumrinden sind nicht glatt- Blitze sind nicht gradlinig.

Ist auch die Zeit ein Attraktor mit Selbstähnlichkeit - wie die Geschichte (HISTORIE), die sich stets wiederholt und doch nicht wiederholt?

3.5 MANDELBROT MENGE= APFELMÄNNCHEN

Die Elemente der MANDELBROT-MENGE sind komplexe Zahlen mit Real- und Imaginärteil, die sich als Punkte in der komplexen Ebene darstellen lassen. Untersucht man die M:M: aus der Nähe, findet man kleine Figuren, die auf den ersten Blick den ursprünglichen ähneln. Bei genauerem Hinsehen zeigt sich jedoch ein ganz unterschiedliches Bild mit Mustern, die z.B an organische Strukturen wie Ranken /Farnkraut oder Ammoniten oder einen Bischofsstab erinnern. ( lt.Spektrum ) Mandelbrot suchte Fehler nicht durch Selbsprogrammieren, sondern durch " Analysieren von Bildern", die aus solchen Programmen erzeugt wurden, liest man im SPEKTRUM DER WISSENSCHAFTEN.

[amoa] [bischofa] [farna] [apfelma]

Mit Einführung der MANDELBROT MENGE, im deutschen Sprachgebrauch APFELMÄNNCHEN genannt, zeigte er, daß solche komplexen Phänomene weiter kreiert und beschrieben werden können mittels einfacher Regeln, die man wiederholt ausführt.

So forderte er ganze Generationen von Mathematikern, Computerfachleuten und sogar Künstler heraus zum Studium dieser schönen Strukturen, die aus der MANDELBROT-MENGE resultieren. Noch in den 80iger Jahren war ein Computer nur wenigen Eingeweihten zugänglich. Im normalen Berufsalltag blieb er überhaupt geheimnisvoll.

Die Entwicklung der Home- und Personalcomputer setzte plötzlich ein. Heute stehen sie in Wohn- und Kinderzimmern und sind Bestandteil der Arbeitswelt und zwar GLOBAL. Die Beherrschung des Computers gehört zu den Grundfertigkeiten wie Lesen,Schreiben und Rechnen und wird daher in der Schule unterrichtet. Unstreitig, daß Jugendliche so einen großen Vorteil vor den Erwachsenen erlangen. Generationenproblem? Computergeneration?

4.0 Schulbildung

Mittlerweile gibt es über 50.000 Publikationen zu diesem Begriff. Wieviele Bildende Künstler wagten sich bisher an das Thema? Ich bin keine Mathematikerin, sondern Malerin und daher scheint es mir korrekt, meine Aquarelle zu betiteln:

EINFACH-KOMPLIZIERT

Sie zeigen eine Kombination von ALT und NEU---intuitiv erfaßt, daher unbeeinflußt von Theorien. Eine wesentliche Rolle spielt die Dimension bzw. deren Vermischungen spez. Kombinationen. Eine Zusammenstellung zeigt: Gegensätze ergänzen sich

Schulmathematik-Rechnen / Computer-Rechnen
Direkt Sichtbares / Sichtbargewordenes
Reales / Irreales
Ganzes / Fraktales
Geradliniges / Gekrümmtes
Einfaches / Komplexes
Konkretes / Abstraktes
Feste Zahlen / Veränderliche Zahlen
Einschränkung / Bereicherung
Starre / Bewegung
Altes / Neues
Körper / Flächen

usw.

Apsidenmosaikendetails aus Rom (Ranken).

[abs1a]

..hier die hinweisende Hand von oben .

.. [abs3a] [abs2a]

Der Computerfachmann Dan KALKOW meint: Das APFELMÄNNCHEN war immer da.--- und wartete nur darauf gesehen zu werden !!!.

*********Der Computer macht sichtbar.********

Ist das nichtschlußendlich auch die Aufgabe der Bildenden- Kunst? Der Computer zeigt uns symbolische Darstellungen menschlicher Logik. Die Wahrnehmung der Welt. Das Alltägliche wird beachtenswerter. -----------FASZINATION ------------- Als Spezialist für die MANDELBROT-MENGE hat der Mathematikprofessor J.H. HUBBARD gemeinsam mit Prof.H.O.PEITGEN ( Universität Bremen ) fundamentale Experimente fortgeführt. Mandelbrot bestätigt in seinem Lebenslauf, daß sein Haupthilfsmittel das Auge ist und er nur befähigt war, den neuentwickelten Computer zu nutzen um seine Gedanken sichtbar werden zu lassen. Der Computer ist Helfer in den Wissenschaften und der KUNST

Er sagt: KUNST ist eine der wenigen Formen menschlicher Produktivität, die nicht auf Vernichtung und Katastrophen zielt, sondern dem Lebendigen entspricht. Nur wer diese Denkart durchschaut, kann die Auswirkungen im sozialen Leben wiedererkennen.

Nachhang

5.0 Mosaik-Entwurf

Aufgrund meiner Ausbildung und Berufstätigkeit hatte ich häufig mit Graphischen Darstellungen (wie Zick-Zack-oder Glockenkurven) zu tun. Es beeindruckte mich stets, mittels dieser Darstellungen Probleme sichtbarer machen zu können. 1987 entstand ein Mosaikentwurf, dem eine Graphische Darstellung zugrunde liegt. Eine besondere Technik nämlich die Hinterglasmalerei, schien mir am geeignetesten meine Gedanken in Farbe und Form auszudrücken. Dieser farbenprächtige Mosaikentwurf hat mit dem o.e.Phänomen der Selbstähnlichkeit nichts zu tun. Ist aber interessant, weil das Motiv eine Kombination mit sich selbst ist, daher kann man es beliebig "mit sich selbst" je nach Bedarf der Fläche in horizontaler oder vertikaler Ebene ergänzen.

[mosaic]

Mosaikentwurf

Entdecken Sie die Graphische Kurve ?

Fast alle meine weiteren Entwürfe --- (für Glasfenster, Betonglasbauten u.a.m ) unterliegen diesem Prinzip. Jede Hinterglasmalerei ist ein Unikat.

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5.1 Lebenslauf W.Benger

Im Juli 1967 heiratete ich von Berlin nach Innsbruck. Durch Familienpflichten und mehrjähriger Berufstätigkeit an der Universität Innsbruck begann ich- also nach Jahren der Unterbrechung- mich wieder der BILDENDEN- KUNST zu widmen. 1987 Aufnahme in den Künstlerbund Tirol--// 1997- .Bildkunst Österreich (S.692) Erweiternde Ausbildungen durch zahlreiche Kurse an der Volkshochschule (Bauernmalerei /Hinterglasmalerei ) und Art Didacta Innsbruck (Zeichnen, Modellieren,abstr. Acrylmalerei, Restaurieren) und Internat. Akademie Trier (Buchillustration) und Sommerakademie Salzburg (Paradoxon der Kreativität / Moderne) Mittlerweile Seniorstudentin für Geschichte und Kunstgeschichte an der Universität Innsbruck. Reisen in fast alle Kontinente. Bisher 14 Ausstellungen./ Beteiligungen

1997 Video EINFACH KOMPLIZIERT // 1999 Internet

5.2 Allgemeines

6.0 Dank

Für freundliche Unterstützung danke ich vielmals der Universtit�t Innsbruck.

Herrn Ao.Univ.Prof. Dr. Heinrich Reitberger	Institut für Mathematik
Herrn O.Univ.Prof. Dr. Roman Liedl	Institut für Mathematik
Herrn O.Univ.Prof. Dr.Jörg Pfleiderer	Vorstand d. Inst. f. Astronomie
Herrn O.Univ.Prof. Dr. Naredi-Rainer	Vorstand d. Inst. f. Kunstgeschichte
Herrn Mag. Werner Benger	Universität Innsbruck

Literatur-Hinweise und Addressen

BOWEN J.@comlab.ox.ac.uk
BRIGGS,John u.David PEAT : Die Entdeckung des Chaos , 1989, Carl HanserVerlag
DEWDNEY;A.K.Das Apfelmännchen, Spektrum d.Wissenschaften,Comp.Kurzweil Sonderheft 1987
HARPER &ROW "Turbulent mirror" New York.
IBM Corp. Research Homepage 1996,Profiling B.Mandelbrot./ Fractal lead story
IBM Corp. Research 1998 ,Fractal science.

Conference on a new space for culture and society 19.-23.Nov. 1996 B. Mandelbrot

HUBBARD Prof. John H. Cornell University, Dept.Mathem. Ithaca N.Y. 14853 USA
PEITGEN Prof. Heinz Otto, Univ. Bremen 2800 Bremen 33 Postfach 330440
SILVER Rollo, Box 111 San Christobal N.M.87564 USA

[computera] [6aa]

(aus: Die Presse, Zygmunt Januszewski)

Schulmathematik-Rechnen	/	Computer-Rechnen
Direkt Sichtbares	/	Sichtbargewordenes
Reales	/	Irreales
Ganzes	/	Fraktales
Geradliniges	/	Gekrümmtes
Einfaches	/	Komplexes
Konkretes	/	Abstraktes
Feste Zahlen	/	Veränderliche Zahlen
Einschränkung	/	Bereicherung
Starre	/	Bewegung
Altes	/	Neues
Körper	/	Flächen